Теңдеулер, кодтар, шифрлар, математика және поэзия

Михал Шурек өзі туралы былай дейді: «Мен 1946 жылы дүниеге келдім. Мен 1968 жылы Варшава университетін бітірдім, содан бері математика, информатика және механика факультетінде жұмыс істеймін. Ғылыми бағыты: алгебралық геометрия. Мен жақында векторлық байламдармен айналыстым. Векторлық сәуле дегеніміз не? Сонымен, векторларды жіппен мықтап байлау керек, және бізде қазірдің өзінде байлам бар. Менің физик досым Энтони Сим мені Жас техникке қосылуға мәжбүр етті (ол менің қаламақыларымнан роялти алуы керек екенін мойындайды). Мен бірнеше мақала жаздым, содан кейін қалдым, ал 1978 жылдан бастап математика туралы менің ойымды ай сайын оқи аласыз. Мен тауларды жақсы көремін, артық салмағыма қарамастан, жаяу жүруге тырысамын. Менің ойымша, мұғалімдер ең маңыздысы. Мен саясаткерлерді, олардың таңдауы қандай болса да, олар қашып кетпеуі үшін қатты күзетілетін аймақта ұстар едім. Күніне бір рет тамақтандырыңыз. Түлектік бір бигл маған ұнайды.

Теңдеу математик үшін шифр сияқты. Теңдеулерді шешу, математиканың квинтэссенциясы, шифрленген мәтінді оқу болып табылады. Мұны теологтар ХNUMX ғасырдан бері байқады. Математиканы білетін Иоанн Павел ІІ өзінің уағыздарында бұл туралы бірнеше рет жазып, айтып өткен – өкінішке орай, фактілер менің жадымнан өшіп қалды.

Мектеп ғылымында ол көрсетіледі Пифагор тікбұрышты үшбұрыштағы кейбір тәуелділік туралы теореманың авторы ретінде. Осылайша ол біздің еуроцентристік философиямыздың бір бөлігіне айналды. Дегенмен, Пифагордың әлдеқайда жақсы қасиеттері бар. Шәкірттеріне «бұл төбенің ар жағында не бар?» дегеннен бастап «дүниені тану» міндетін жүктеген де ол. жұлдыздарды зерттеу алдында. Сондықтан еуропалықтар көне өркениеттерді «ашты», керісінше емес.

Кейбір оқырмандардың есіндеВьет үлгілеріжәне де»; Көптеген егде жастағы оқырмандар бұл терминнің өзін мектептен және сұрақтың квадрат теңдеулерде пайда болғанын есіне алады. Бұл заңдылықтар «идеологиялық» шифрлау ақпарат.

Таңқаларлық емес Франсуа Вьетнам (1540-1603) Генрих IV (Бурбон әулетінен шыққан бірінші француз королі, 1553-1610) сарайында криптографиямен айналысып, Франциямен соғыста ағылшындар қолданған шифрды бұза алды. Сондықтан ол Екінші дүниежүзілік соғысқа дейін неміс Enigma шифрлау машинасының құпияларын ашқан поляк математиктерімен (Мариан Реевски басқарған) бірдей рөл атқарды.

сән тақырыбы

Дәл. «Кодтар мен шифрлар» тақырыбы оқытуда әлдеқашан сәнге айналған. Мен бұл туралы бірнеше рет жаздым, екі айдан кейін тағы бір серия шығады. Бұл жолы мен 1920 жылғы соғыс туралы фильмнің әсерімен жазып отырмын, бұл соғыстың жеңіске жетуіне сол кездегі жас жігіт басқарған команданың большевиктік жасақтардың кодексін бұзуы себеп болған. Вацлав Сиерпински (1882-1969). Жоқ, бұл әлі Жұмбақ емес, бұл тек кіріспе. Фильмдегі Юзеф Пилсудски (Даниил Ольбрычски ойнаған) шифрлау бөлімінің меңгерушісіне былай дегені есімде:

Декодталған хабарламалар маңызды хабарламаны алып келді: Тухачевскийдің әскерлері қолдауды алмайды. Сіз шабуыл жасай аласыз!

Мен Вацлав Сиерпинскийді білетінмін (егер айта берсем: мен жас студент едім, ол атақты профессор болатын), оның лекциялары мен семинарларына қатыстым. Ол өз пәрменімен айналысып, о дүниені көрмей, әлсіреген ғұламадай әсер қалдырды. Ол аудиторияға қарамай, тақтаға қарап арнайы дәріс оқыды... бірақ өзін көрнекті маман ретінде сезінді. Қалай болғанда да, оның белгілі бір математикалық қабілеттері болды - мысалы, есептерді шешу үшін. Басқалары да бар - басқатырғыштарды шешуде салыстырмалы түрде нашар, бірақ бүкіл теорияны терең түсінетін және шығармашылықтың барлық салаларын бастауға қабілетті ғалымдар. Бізге екеуі де керек - біріншісі жылдамырақ қозғалса да.

Вацлав Сиерпински 1920 жылғы жетістіктері туралы ешқашан айтқан емес. 1939 жылға дейін бұл сөзсіз құпия болуы керек еді, ал 1945 жылдан кейін Кеңестік Ресеймен соғысқандар сол кездегі биліктің көзайымына ие болмады. Ғалымдар армия сияқты қажет деген сенімім дәлелденді: «қалай болса да». Міне, президент Рузвельт Эйнштейнді шақырады:

Көрнекті орыс математигі Игорь Арнольд соғыстың математика мен физиканың дамуына үлкен әсер еткенін (радар мен GPS-тің де әскери бастауы болған) ашық және мұңды түрде айтты. Мен атом бомбасын қолданудың моральдық аспектісіне тоқталмаймын: мұнда соғыстың бір жылға созылуы және бірнеше миллион өз жауынгерлерінің қаза болуы - жазықсыз бейбіт тұрғындардың азап шегуі.

***

Мен таныс жерлерге қашамын - к.Көбіміз кодтармен ойнадық, мүмкін барлау, мүмкін дәл солай. Әріптерді басқа әріптермен немесе басқа сандармен ауыстыру принципіне негізделген қарапайым шифрлар, егер біз тек бірнеше анықтамаларды ұстасақ (мысалы, біз патшаның атын болжаймыз) жүйелі түрде бұзылады. Бүгінгі күні статистикалық талдау да көмектеседі. Ең сорақысы, бәрі өзгеретін кезде. Бірақ ең сорақысы - жүйелілік болмаған кезде. Қайырымды сарбаз Швейктің шытырман оқиғаларында сипатталған кодты қарастырайық. Мысалы, «Тасқын» кітабын алайық. Мұнда бірінші және екінші беттердегі ұсыныстар берілген.

Біз «CAT» сөзін кодтауды қалаймыз. Біз 1-бетте және келесі секундта ашамыз. 1-бетте К әрпі бірінші рет 59-шы орында тұрғанын көреміз. Елу тоғызыншы сөзді қарама-қарсы, екінші жағынан табамыз. Бұл «а» сөзі. Енді О әрпі сол жақта 16-шы сөз, ал оң жақта он алтыншы - «Мистер». Т әрпі 95-ші орында, дұрыс санасам, ал оң жақтан тоқсан бесінші сөз «о». Сонымен, CAT = 1 LORD O.

Шифрлау үшін де, болжау үшін де ауыр баяу болса да, «болжамды» шифр. Біз M әрпін өткізгіміз келеді делік. Біз оны «Wołodyjowski» сөзімен кодтағанымызды тексере аламыз. Ал бізден кейін олар түрме камерасын дайындап жатыр. Біз тек ауыстыруға сене аламыз! Бұған қоса, қарсы барлау құпия қызметкерлердің тұтынушылар біраз уақыттан бері «Тасқынның» бірінші томын ықыласпен сатып алғаны туралы хабарламаларын атап өтеді.

Менің мақалам осы диссертацияға қосқан үлес болып табылады: тіпті математиктердің ең оғаш идеялары кеңінен түсінікті тәжірибеде қолдануды таба алады. Мысалы, ... 47-ге бөлінгіштік критерийінен гөрі пайдалы емес математикалық жаңалықты елестету мүмкін бе?

Ол бізге өмірде қашан қажет? Ал егер солай болса, оны бөлуге тырысу оңайырақ болады. Бөлінсе жақсы, жоқ болса... екіншіден жақсы (бөлінбейтінін білеміз).

Қалай бөлісуге болады және неге

Осы кіріспеден кейін келесіге көшейік.Оқырмандар, сіз бөлінгіштік белгілерін білесіз бе? Сөзсіз. Жұп сандар 2, 4, 6, 8 немесе нөлмен аяқталады. Санның цифрларының қосындысы үшке бөлінетін болса, ол үшке бөлінеді. Сол сияқты тоғызға бөлінгіштік белгісімен – цифрлардың қосындысы тоғызға бөлінуі керек.

Ол кімге керек? Мен Оқырманды оның мектеп тапсырмаларынан басқа кез келген нәрсеге жақсы екеніне сендірсем, өтірік айтқан болар едім. Ал, 4-ке бөлінудің тағы бір ерекшелігі (және бұл не, Оқырман? Мүмкін сіз келесі олимпиаданың қай жылы болатынын білгіңіз келгенде қолданарсыз ...). Бірақ 47-ге бөлінгіштік қасиеті? Бұл қазірдің өзінде бас ауруы. Біз бір нәрсенің 47-ге бөлінетінін біле аламыз ба? Егер солай болса, онда калькуляторды алып, қараңыз.

Бұл. Дұрыс айтасыз, Оқырман. Дегенмен, оқыңыз. Оқасы жоқ.

47-да бөліну жалауы: 100+ саны 47-ге бөлінеді, егер 47 саны +8-ге бөлінсе.

Математик риза болып күледі: «Ге, әдемі». Бірақ математика – математика. Дәлелдер маңызды, біз оның сұлулығына мән береміз. Біздің қасиетімізді қалай дәлелдеуге болады? Бұл өте оңай. 100 + 94 - 47 = 47 (2 -) санын азайтыңыз. 100+-94+47=6+48=6(+8) аламыз.

Біз 47-ге бөлінетін санды алып тастадық, сондықтан 6 (+ 8) 47-ге бөлінетін болса, 100 + де солай болады. Бірақ 6 саны 47-ге салыстырмалы жай сан, яғни 6 (+ 8) 47-ге бөлінеді, егер ол + 8 болса ғана. Дәлелдеудің соңы.

Қарайық Кейбір мысалдар.

8805685 саны 47-ге бөлінеді? Егер біз оны шынымен қызықтыратын болсақ, біз оны бастауыш мектепте оқытқандай бөлу арқылы тезірек анықтаймыз. Қалай болғанда да, қазір әрбір ұялы телефонда калькулятор бар. Бөлінген бе? Иә, жеке 187355.

Ал, бөлінгіштік белгісі нені білдіретінін көрейік. Біз соңғы екі санды ажыратамыз, оларды 8-ге көбейтеміз, нәтижені «қысқартылған санға» қосамыз және алынған санмен де солай істейміз.

8805685 → 88056 + 8 85 = 88736 → 887 + 8 36 = 1175 → 11 + 8 75 = 611 → 6 + 8 11 = 94.

94 саны 47-ге бөлінетінін көреміз (бөлінді 2), бұл бастапқы санның да бөлінетінін білдіреді. Жақсы. Бірақ көңілді жүре берсек ше?

94 → 0 + 8 94 = 752 → 7 + 8 52 = 423 → 4 + 8 23 = 188 → 1 + 8 88 = 705 → 7 + 8 5 = 47.

Енді біз тоқтатуымыз керек. Қырық жеті 47-ге бөлінеді, солай емес пе?

Бізге шынымен де тоқтау керек пе? Әрі қарай жүрсек ше? Құдай-ау, бәрі болуы мүмкін ... Мен егжей-тегжейлерді қалдырамын. Мүмкін бастамасы ғана:

47 → 0 + 8 47 = 376 → 3 + 8 76 = 611 → 6 + 8 11 = 94 → 0 + 8 94 = 752.

Бірақ, өкінішке орай, бұл тұқым шайнау сияқты тәуелді ...

752 → 7 + 8 * 52 = 423 → 4 + 8 * 23 = 188 → 1 + 8 * 88 = 705 → 7 + 8 * 5 = 47.

Әй, қырық жеті. Бұрын болған. Ары қарай не? . Дәл сондай. Сандар келесідей циклде жүреді:

Бұл шынымен қызық. Көптеген ілмектер.

Два келесі мысалдар.

10017627 саны 47-ге бөлінетінін білгіміз келеді. Бұл білім бізге не үшін қажет? Білушіге көмектеспейтін білім қасірет деген қағиданы есте ұстаймыз. Білім әрқашан бір нәрсе үшін бар. Бұл бір нәрсе үшін болады, бірақ қазір түсіндірмеймін. Тағы бірнеше тіркелгі:

10017627 → 100176 + 8 27 = 100392.

«Ағасын балтадан таяққа ауыстырды». Мұның бәрінен не аламыз?

Ендеше, процестің барысын қайталайық. Яғни, біз мұны жалғастырамыз (яғни, «итерация» сөзі).

100392 → 1003 + 8 92 = 1739 → 17 + 8 39 = 329 → 3 + 8 29 = 235.

Ойынды тоқтатайық, мектептегідей бөлеміз (немесе калькуляторда): 235 = 5 47. Бинго. 10017627 бастапқы саны 47-ге бөлінеді.

Жарайсың!

Әрі қарай жүрсек ше? Маған сеніңіз, сіз оны тексере аласыз.

Және тағы бір қызық факт. Біз 799 санының 47-ге бөлінетінін тексергіміз келеді. Бөлінгіштік функциясын қолданамыз. Біз соңғы екі санды ажыратамыз, алынған санды 8-ге көбейтеміз және қалғанын қосамыз:

799 → 7 + 8 99 = 7 + 792 = 799.

Бізде не бар? 799 саны 47-ге бөлінетін болса, 799 саны 47-ге бөлінеді ме? Иә, дұрыс, бірақ бұл үшін математика қажет емес!!! Май майлы (кем дегенде бұл май майлы).

Жапырақ, қарақшылар және әзілдердің соңы туралы!

Тағы екі әңгіме. Жапырақты жасыратын ең жақсы жер қайда? Жауап анық: орманда! Бірақ оны қалай табуға болады?

Екіншісі, біз бұрыннан оқыған қарақшылар туралы кітаптардан білеміз. Қарақшылар қазынаны көмген жердің картасын жасады. Басқалары оны ұрлады немесе ұрыста жеңді. Бірақ картада оның қай аралға арналғаны көрсетілмеген. Және өзіңізді іздеңіз! Әрине, қарақшылар мұнымен (азаптаумен) күресті - мен айтып отырған шифрларды да осындай әдістер арқылы алуға болады.

Әзілдердің соңы. Оқырман! Біз шифр жасаймыз. Мен жасырын тыңшымын және байланыс қорабы ретінде «Кіші техникті» қолданамын. Маған шифрланған хабарларды келесідей бағыттаңыз.

Алдымен мәтінді кодты пайдаланып сандар жолына түрлендіріңіз: AB CDEFGH IJ KLMN ON RST UWX Y Z1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Көріп отырғаныңыздай, біз поляк диакритикасын (яғни, ą, ę, ć, ń, ó, śсіз) және поляк емес q, v қолданбаймыз - бірақ поляк емес x әр жағдайда болады. Бос орын ретінде тағы 25 қосамыз (сөздер арасындағы бос орын). О, ең бастысы. № 47 кодты қолданыңыз.

Мұның нені білдіретінін білесіз. Сіз математик досыңызға барасыз.

Досының көзі таңырқап кетті.

Сіз мақтанышпен жауап бересіз:

Математик сізге бұл қасиет береді... және сіз шифрлау үшін көзге көрінбейтін функция қолданылатынын білесіз.

өйткені мұндай үлгі сипатталған әрекет болып табылады

100 + → + 8.

Сонымен, шифрланған хабардағы 77777777 сияқты санның нені білдіретінін білгіңіз келсе, функцияны пайдаланасыз.

100 + → + 8

1 мен 25 арасындағы санды алғанша. Енді анық әріптік-цифрлық кодты қараңыз. Көрейік: 77777777 →… Мұны сізге тапсырма ретінде қалдырамын. Бірақ көрейік 48 қандай әріп жасырады? Оқып көрейік:

48 → 0 + 8 48 = 384.

Содан кейін біз кезек аламыз:

384 → 3 + 8 84 = 675 → 6 + 8 75 = 606 → 6 + 8 6 = 54 → 0 + 8 54 = 432 ...

Соңы көрінбейді. Алпысыншы (!) уақыттан кейін ғана 25-тен кіші сан шығады.Бұл 3, яғни 48 С әрпі.

Ал бұл хабар бізге не береді? (Мен 47 кодты қолданатынымызды еске салғым келеді):

80 – 152 – 136 – 546 – ​​695719 – 100 – 224 – 555 – 412 – 111 – 640 – 102 – 152 – 12881 – 444 – 77777777 – 59 – 408 – 373 – 1234567.

Ал, ойланыңыз, не соншалықты күрделі, кейбір есептер. Біз бастадық. Ерте 80. Белгілі ереже:

80 → 0 + 8 80 = 640 → 6 + 8 40 = 326.

Ол былай жалғасады:

326 → 211 → 90 → 720 → 167 → 537 → 301 → 11.

Жеңдер! Хабарламаның бірінші әрпі - K. Phew, оңай, бірақ ол қанша уақытты алады?

Сондай-ақ 1234567 санымен қанша қиындыққа тап болатынын көрейік. Тек он алтыншы рет біз 25-тен кіші санды, атап айтқанда 12-ні аламыз. Сонымен 1234567 - L.

Жарайды, деуге болады, бірақ бұл арифметикалық операция соншалықты қарапайым, оны компьютерде бағдарламалау кодты бірден бұзады. Иә бұл шындық. Бұл қарапайым компьютерлік есептеулер. идеямен қоғамдық шифр Бұл сонымен қатар есептеулерді компьютер үшін қиындату туралы. Кем дегенде жүз жыл жұмыс істесін. Ол хабарламаның шифрын шеше ме? Маңызды емес. Бұл ұзақ уақыт бойы маңызды емес. Бұл (көп немесе аз) қоғамдық шифрлар туралы. Егер сіз өте ұзақ уақыт жұмыс істесеңіз ... жаңалықтар өзекті болмайынша, оларды бұзуға болады.

 ол әрқашан «қарсы қаруды» дүниеге әкелді. Барлығы қылыш пен қалқаннан басталды. Құпия қызметтер XNUMX ғасырда компьютерлер (соның ішінде біз жасаған) шифрлау әдістерін ойлап табу үшін дарынды математиктерге үлкен ақша төлейді.

жиырма екінші ғасыр? Әлемде осы тамаша ғасырда өмір сүретін көптеген адамдар бар екенін білу қиын емес!

Әй? Егер мен («Жас техник» хабарласқан Құпия офицермен) 23 кодымен шифрлауды сұрасам ше? Немесе 17? Қарапайым:

Математиканы мұндай мақсатта қолданбауымыз керек.

***

Мақаланың тақырыбы поэзия туралы. Оған оның не қатысы бар?

Қалай не? Поэзия да дүниені шифрлайды.

Қалай?

Әдістері бойынша - алгебралық әдістерге ұқсас.