кері сүйкімділік

Математикада ғана емес, «қарсылықтардың сүйкімділігі» туралы көп айтылады. Есіңізде болсын, қарама-қарсы сандар тек таңбасы бойынша ерекшеленетін сандар: плюс 7 және минус 7. Қарама-қарсы сандар қосындысы нөлге тең. Бірақ біз үшін (яғни математиктер) өзара әрекет қызықтырақ. Егер сандардың көбейтіндісі 1-ге тең болса, онда бұл сандар бір-біріне кері болады. Әрбір санның қарама-қарсы, нөлден басқа әр санның кері саны бар. Қарым-қатынастың кері мәні – тұқым.

Инверсия екі шама бір-бірімен байланысқан жерде орын алады, сондықтан біреуі өссе, екіншісі сәйкес жылдамдықпен азаяды. «Сәйкес» бұл шамалардың көбейтіндісінің өзгермейтінін білдіреді. Біз мектептен есімізде: бұл кері пропорция. Егер мен межелі жерге екі есе жылдам жеткім келсе (яғни уақытты екіге қысқарту), мен жылдамдығымды екі есе арттыруым керек. Газы бар тығыздалған ыдыстың көлемі n есе азайса, оның қысымы n есе артады.

Бастауыш білім беруде дифференциалды және салыстырмалы салыстыруды мұқият ажыратамыз. «Тағы қанша»? – «Неше есе артық?»

Міне, кейбір мектеп шаралары:

1 тапсырмасы. Екі оң мәннің біріншісі екіншісінен 5 есе артық және сонымен бірге біріншіден 5 есе артық. Өлшемдері қандай?

2 тапсырмасы. Бір сан екіншісінен 3-ке, ал екіншісі үшіншіден 2-ге артық болса, бірінші сан үшіншіден қаншаға артық? Бірінші оң сан екіншіден екі есе, ал бірінші сан үшіншіден үш есе көп болса, бірінші сан үшіншіден неше есе артық?

3 тапсырмасы. 2-тапсырмада тек натурал сандар рұқсат етіледі. Онда сипатталғандай ұйымдастыру мүмкін бе?

4 тапсырмасы. Екі оң мәннің біріншісі екіншіден 5 есе, екіншісі біріншіден 5 есе көп. Бұл мүмкін бе?

«Орташа» немесе «орташа» ұғымы өте қарапайым болып көрінеді. Дүйсенбіде 55 км, сейсенбіде 45 км, сәрсенбіде 80 км велосипедпен жүрсем, орташа есеппен күніне 60 км жүрдім. Бір күнде 60 шақырым жол жүрмегендіктен біраз оғаш болғанымен, біз бұл есептеулермен шын жүректен келісеміз. Біз адамның акцияларын оңай қабылдаймыз: егер алты күн ішінде екі жүз адам мейрамханаға келсе, онда орташа тәуліктік мөлшерлеме 33 және үшінші адам. Хм!

Тек орташа өлшемде проблемалар бар. Маған велосипед тебу ұнайды. Сондықтан мен туристік агенттіктің «Бізбен бірге барайық» ұсынысын пайдаландым - олар жүкті қонақүйге жеткізеді, онда клиент демалыс үшін велосипедпен жүреді. Жұма күні мен төрт сағат жүрдім: алғашқы екеуі сағатына 24 км жылдамдықпен. Содан кейін менің шаршағаным сонша, келесі екеуінде сағатына небәрі 16 болды. Менің орташа жылдамдығым қандай болды? Әрине (24+16)/2=20км=20км/сағ.

Ал сенбі күні жүктер қонақүйде қалды, мен 24 шақырым жердегі құлыптың қирандыларын көруге бардым, соларды көріп қайттым. Мен бір бағытта бір сағат жүрдім, баяу оралдым, сағатына 16 км жылдамдықпен. Қонақ үй-құлып-қонақ үй бағыты бойынша менің орташа жылдамдығым қандай болды? Сағатына 20 км? Әрине жоқ. Өйткені, мен барлығы 48 км жүрдім, бұл маған бір сағат («сонда») және бір жарым сағатты алды. 48 км екі жарым сағатта, яғни. сағат 48/2,5=192/10=19,2 км! Бұл жағдайда орташа жылдамдық орташа арифметикалық емес, берілген мәндердің гармониясы болып табылады:

және бұл екі қабатты формуланы былай оқуға болады: оң сандардың гармоникалық ортасы олардың өзара арифметикалық ортасының кері мәні болып табылады. Қарсылық қосындысының кері шамасы мектеп тапсырмаларының көптеген хорларында кездеседі: бір жұмысшы сағат қазса, екіншісі - б сағат, онда бірігіп жұмыс істеп, уақытында қазып алады. су бассейні (біреуі сағатына, екіншісі b сағатында). Егер бір резисторда R1, екіншісінде R2 болса, онда олардың параллель кедергісі болады. 

Бір компьютер мәселені секундта, екінші компьютер b секундта шеше алса, олар бірге жұмыс істегенде...

Тоқта! Дәл осы жерде аналогия аяқталады, өйткені бәрі желінің жылдамдығына байланысты: қосылымдардың тиімділігі. Жұмысшылар да бір-біріне кедергі келтіруі немесе көмектесуі мүмкін. Бір адам құдықты сегіз сағатта қазса, сексен жұмысшы оны сағаттың 1/10 (немесе 6 минут) ішінде жасай ала ма? Егер алты портер пианиноны бірінші қабатқа 6 минутта апарса, олардың біреуі пианиноны алпысінші қабатқа қанша уақытта жеткізеді? Мұндай есептердің абсурдтығы барлық математиканың «өмірден алынған» есептерге шектеулі қолданылуын еске түсіреді.

Бүкіл сатушы туралы 

Таразылар енді қолданылмайды. Еске салайық, мұндай таразылардың бір тостағанына салмақ қойылды, ал өлшенетін тауарлар екіншісіне қойылды, ал салмақ тепе-теңдікте болғанда, жүктің салмағы бірдей болды. Әрине, салмақ жүктемесінің екі қолы бірдей ұзындықта болуы керек, әйтпесе салмақ дұрыс емес болады.

О, дұрыс. Тең емес левереджмен салмағы бар сатушыны елестетіп көріңіз. Дегенмен, ол тұтынушыларға адал болғысы келіп, тауарды екі топтамаға таратады. Алдымен бір табаға салмақ салады, ал екіншісіне тиісті мөлшердегі тауарды қояды - таразы тепе-теңдікте болады. Содан кейін тауардың екінші «жартысын» кері ретпен өлшейді, яғни салмақты екінші тостағанға, ал тауарларды біріншіге салады. Қолдар тең емес болғандықтан, «жартылар» ешқашан тең болмайды. Ал сатушының ар-ожданы таза, ал сатып алушылар оның адалдығын мақтайды: «Мұнда не алып тастадым, сосын қостым».

Дегенмен, ауыр салмаққа қарамастан адал болғысы келетін сатушының мінез-құлқын толығырақ қарастырайық. Тепе-теңдіктің қолдарының ұзындығы a және b болсын. Егер тостағандардың біріне килограмм салмақ, екіншісіне х тауар тиелсе, онда бірінші рет ax = b, екінші рет bx = a болса таразы тепе-теңдікте болады. Сонымен, тауардың бірінші бөлігі б / килограммға тең, екінші бөлігі а / б. Жақсы салмақ a = b бар, сондықтан сатып алушы 2 кг тауар алады. a ≠ b болғанда не болатынын көрейік. Сонда a – b ≠ 0 және келтірілген көбейту формуласынан бізде болады

Біз күтпеген нәтижеге келдік: бұл жағдайда өлшеуді «орташа бағалаудың» әділ болып көрінетін әдісі көбірек тауар алатын сатып алушының пайдасына жұмыс істейді.

5 тапсырмасы. (Маңызды емес, математикада!). Масаның салмағы 2,5 миллиграмм, ал пілдің салмағы бес тонна (бұл өте дұрыс деректер). Масалар мен піл массаларының (салмақтарының) арифметикалық ортасын, геометриялық ортасын және гармоникалық ортасын есептеңіз. Есептеулерді тексеріп, олардың арифметикалық жаттығулардан басқа мағынасы бар-жоғын тексеріңіз. «Нақты өмірде» мағынасы жоқ математикалық есептеулердің басқа мысалдарын қарастырайық. Кеңес: Біз осы мақалада бір мысалды қарастырдық. Бұл интернеттен «Математика адамдарды сандармен алдайды» деген пікірін тапқан анонимді студенттің дұрыс екенін білдіре ме?

Иә, мен математиканың ұлылығында адамдарды «алдау» мүмкін екендігімен келісемін - сусабынның әрбір екінші жарнамасы оның жұмсақтықты белгілі бір пайызға арттыратынын айтады. Қылмыстық әрекетке қолдануға болатын пайдалы күнделікті құралдардың басқа мысалдарын іздейміз бе?

Грамм!

Бұл үзіндінің тақырыбы зат есім емес, етістік (бірінші жақ көпше) (клограммның мыңнан бір номинативті көпше түрі). Гармония тәртіп пен музыканы білдіреді. Ежелгі гректер үшін музыка ғылымның бір саласы болды – мойындау керек, егер олай десек, «ғылым» сөзінің қазіргі мағынасын біздің дәуірімізге дейінгі уақытқа ауыстырамыз. Пифагор біздің дәуірімізге дейінгі ХNUMX ғасырда өмір сүрген.Ол тек компьютерді, ұялы телефонды және электрондық поштаны білмеген, сонымен қатар Роберт Левандовский, Миешко I, Карл және Цицеронның кім екенін де білмеген. Ол араб сандарын да, тіпті рим сандарын да білмеген (олар біздің дәуірімізге дейінгі XNUMX ғасырда қолданылған), ол Пуни соғыстарының не екенін білмеді ... Бірақ ол музыканы білді ...

Ол ішекті аспаптарда тербеліс коэффициенттері ішектің тербелетін бөліктерінің ұзындығына кері пропорционал болатынын білді. Ол білді, білді, оны бүгінгі біз жасағандай жеткізе алмады.

Октаваны құрайтын екі ішекті тербелістің жиіліктері 1:2 қатынасында, яғни жоғары нотаның жиілігі төменгінің жиілігінен екі есе көп. Бесінші үшін дұрыс діріл қатынасы - 2:3, төртінші - 3:4, таза негізгі үшінші - 4:5, кіші үшінші - 5:6. Бұл жағымды дауыссыз интервалдар. Содан кейін екі бейтарап, діріл қатынасы 6:7 және 7:8, содан кейін диссонантты - үлкен тон (8:9), кіші тон (9:10). Бұл фракциялар (қатынастар) математиктер (дәл осы себепті) гармоникалық қатар деп атайтын тізбектің бірізді мүшелерінің қатынасына ұқсайды:

теориялық шексіз қосынды болып табылады. Октаваның тербелістерінің қатынасын 2:4 деп жазып, олардың арасына бестен бірін қоюға болады: 2:3:4, яғни октаваны бесінші және төртінші деп бөлеміз. Бұл математикада гармоникалық сегменттерге бөлу деп аталады:

Күріш. 1. Музыкант үшін: АВ октавасын бесінші АС-ға бөлу.Математик үшін: Гармоникалық сегменттеу

Гармоникалық қатар сияқты теориялық шексіз қосындыны (жоғарыда) айтқанда мен нені айтамын? Мұндай қосынды кез келген үлкен сан болуы мүмкін екен, ең бастысы біз ұзақ уақыт қосамыз. Ингредиенттер аз және аз, бірақ олардың саны көбірек. Не басым? Мұнда біз математикалық талдау саласына енеміз. Ингредиенттер таусылатыны белгілі болды, бірақ өте тез емес. Мен жеткілікті ингредиенттерді алу арқылы қорытындылай алатынымды көрсетемін:

ерікті түрде үлкен. «Мысалы» n = 1024 алайық. Суретте көрсетілгендей сөздерді топтастырайық:

Әрбір жақшада әрбір сөз алдыңғы сөзден үлкен, әрине, өзіне тең соңғы сөзден басқа. Келесі жақшада бізде 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 және 512 құрамдас бөліктер бар; әрбір жақшадағы қосындының мәні ½-ден үлкен. Мұның бәрі 5½-ден асады. Дәлірек есептеулер бұл сома шамамен 7,50918 екенін көрсетеді. Көп емес, бірақ әрқашан, және сіз кез келген үлкен n алу арқылы кез келген саннан асып түсетінімді көре аласыз. Бұл өте баяу (мысалы, біз тек ингредиенттермен ондыққа кіреміз), бірақ шексіз өсу әрқашан математиктерді таң қалдырды.

Гармоникалық қатармен шексіздікке саяхат

Міне, өте маңызды математикаға арналған басқатырғыш. Бізде өлшемдері, айталық, 4 × 2 × 1 болатын тікбұрышты блоктардың (не айта аламын, тіктөртбұрышты!) шектеусіз жеткізілімі бар. Бірнешеден тұратын жүйені қарастырайық інжір. 2 - төрт) блоктар, біріншісі ұзындығының ½ бөлігіне, екіншісі жоғарыдан ¼ және т.б., үшіншісі алтыдан біріне еңкейетіндей етіп орналастырылған. Мүмкін, оны шынымен тұрақты ету үшін, бірінші кірпішті сәл азырақ еңкейтейік. Бұл есептеулер үшін маңызды емес.

Күріш. 2. Ауырлық центрін анықтау

Алғашқы екі блоктан тұратын фигураның (жоғарыдан санағанда) В нүктесінде симметрия центрі болғандықтан, В ауырлық центрі екенін түсіну де оңай. Үш жоғарғы блоктан тұратын жүйенің ауырлық центрін геометриялық түрде анықтайық. Мұнда өте қарапайым аргумент жеткілікті. Үш блокты композицияны ойша екі жоғарғы және үшінші төменгі деп бөлейік. Бұл орталық екі бөліктің ауырлық центрлерін қосатын қимада жатуы керек. Бұл эпизодтың қай нүктесінде?

Белгілеудің екі жолы бар. Біріншісінде біз бұл орталық үш блокты пирамиданың ортасында, яғни екінші, ортаңғы блокты қиып өтетін түзу сызықта жатуы керек деген бақылауды қолданамыз. Екінші жолмен, біз екі жоғарғы блоктың жалпы массасы №3 блоктың (жоғарғы) массасынан екі есе көп болғандықтан, бұл қимадағы ауырлық центрі центрге қарағанда В-ге екі есе жақын болуы керек екенін түсінеміз. Үшінші блоктың S. Сол сияқты келесі нүктені табамыз: үш блоктың табылған ортасын төртінші блоктың S орталығымен қосамыз. Бүкіл жүйенің центрі 2 биіктікте және сегментті 1-ден 3-ке бөлетін нүктеде (яғни оның ұзындығының ¾ бөлігінде).

Біз сәл әрі қарай жүргізетін есептеулер суретте көрсетілген нәтижеге әкеледі. 3-сурет. Төменгі блоктың оң жақ жиегінен бірізді ауырлық орталықтары жойылады:

Осылайша, пирамиданың ауырлық центрінің проекциясы әрқашан табанның ішінде болады. Мұнара құламайды. Енді қарайық інжір. 3 және бір сәт жоғарыдан бесінші блокты негіз ретінде қолданайық (ашық түспен белгіленген). Жоғарғы көлбеу:

осылайша оның сол жақ шеті негіздің оң жақ шетінен 1 артық. Міне, келесі бұрылыс:

Ең үлкен тербеліс дегеніміз не? Біз қазірдің өзінде білеміз! Ең ұлы жоқ! Тіпті ең кішкентай блоктарды алып, сіз бір шақырымға асып кетуге болады - өкінішке орай, тек математикалық түрде: бүкіл Жер сонша блоктарды салу үшін жеткіліксіз болар еді!

Күріш. 3. Қосымша блоктарды қосыңыз

Енді біз жоғарыда қалдырған есептеулер. Біз барлық қашықтықтарды x осі бойынша «көлденеңінен» есептейміз, өйткені бұл бар. А нүктесі (бірінші блоктың ауырлық центрі) оң жақ шетінен 1/2. В нүктесі (екі блок жүйесінің ортасы) екінші блоктың оң жақ шетінен 1/4 қашықтықта орналасқан. Бастапқы нүкте екінші блоктың соңы болсын (енді біз үшіншіге көшеміз). Мысалы, №3 блоктың ауырлық центрі қайда орналасқан? Бұл блоктың жарты ұзындығы, демек, ол біздің анықтамалық нүктеден 1/2 + 1/4 = 3/4 құрайды. С нүктесі қай жерде? 3/4 пен 1/4 арасындағы сегменттің үштен екісінде, яғни алдыңғы нүктеде біз сілтеме нүктесін үшінші блоктың оң жақ шетіне ауыстырамыз. Үш блокты жүйенің ауырлық орталығы енді жаңа тірек нүктесінен жойылды және т.б. Ауырлық центрі C_n n блоктан тұратын мұнара негізгі блоктың оң жақ шеті, яғни жоғарыдан n-ші блок болып табылатын лездік тірек нүктесінен 1/2н қашықтықта орналасқан.

Реципроктардың қатары әр түрлі болғандықтан, біз кез келген үлкен вариацияны аламыз. Бұл іс жүзінде жүзеге асырылуы мүмкін бе? Бұл бітпейтін кірпіш мұнара сияқты - ол ерте ме, кеш пе өз салмағынан құлап кетеді. Біздің схемада блоктарды орналастырудағы ең аз дәлсіздіктер (және сериялардың ішінара қосындыларының баяу өсуі) біз өте алысқа жете алмайтынымызды білдіреді.