Лем, Токарчук, Краков, математика

3 жылғы 7-2019 қыркүйекте Краков қаласында Польша математикалық қоғамының мерейтойлық конгресі өтті. Мерейтой, өйткені Қоғамның құрылғанына жүз жыл. Ол Галисияда 1-ші жылдардан бастап болды (император ФЖ1919 поляк-либерализмінің шегі болды деген сын есімсіз), бірақ жалпыұлттық ұйым ретінде ол тек 1919 жылдан бастап жұмыс істеді. Поляк математикасындағы негізгі жетістіктер 1939-шы жылдардағы ХNUMX-XNUMX-ке жатады. Львовтағы Ян Касимир университетінде ХNUMX, бірақ конгресс онда өтпеді - бұл да ең жақсы идея емес.

Кездесу өте мерекелік болды, ілеспе оқиғаларға толы болды (оның ішінде Яцек Войчицкидің Ниеполомице сарайындағы қойылымы). Негізгі дәрістерді 28 спикер оқыды. Олар поляк тілінде болды, өйткені шақырылған қонақтар поляктар болды - міндетті түрде азаматтық мағынада емес, бірақ өздерін поляк деп таниды. Иә, Польшаның ғылыми мекемелерінен он үш лектор келді, қалған он бесі АҚШ (7), Франция (4), Англия (2), Германия (1) және Канададан (1) келді. Бұл футбол лигаларында белгілі құбылыс.

Үздіктер үнемі шетелде өнер көрсетеді. Бұл аздап қайғылы, бірақ бостандық - бұл еркіндік. Бірнеше поляк математиктері Польшада қол жеткізе алмайтын шетелде мансап жасады. Бұл жерде ақша екінші рөл атқарады, бірақ мен мұндай тақырыптарға жазғым келмейді. Мүмкін тек екі түсініктеме.

Ресейде және оған дейін Кеңес Одағында бұл ең саналы деңгейде болды және ... және әйтеуір ол жерге ешкім эмиграция жасағысы келмейді. Өз кезегінде Германияда кез келген университетте профессорлық лауазымға он шақты үміткер құжат тапсырады (Констанц университетіндегі әріптестер бір жылда 120 өтініш түскенін, оның 50-і өте жақсы, ал 20-сы өте жақсы болғанын айтты).

Мерейтойлық конгресс лекцияларының бірнешеуін ай сайынғы журналымызда қорытындылауға болады. «Сирек графиктердің шектері және олардың қолданылуы» немесе «Жоғары өлшемді нормаланған кеңістіктер үшін ішкі кеңістіктердің сызықтық құрылымы мен геометриясы және факторлық кеңістіктер» сияқты тақырыптар қарапайым оқырманға ештеңе айта алмайды. Екінші тақырыпты бірінші курстағы досым ашты, Николь Томчак.

Бірнеше жыл бұрын ол осы лекцияда ұсынылған жетістікке ұсынылды. Филдс медалі математиктер үшін баламасы болып табылады. Әзірге бұл сыйлықты бір ғана әйел алған. Сонымен қатар лекцияны атап өткен жөн Анна Марчиняк-Чохра (Гейдельберг университеті) «Лейкозды модельдеу мысалында медицинадағы механикалық математикалық модельдердің рөлі».

медицинаға түсті. Варшава университетінде проф. Ежи Тюрин.

Дәріс тақырыбы оқырмандарға түсініксіз болады Веслава Нициол (z prestiżowej Жоғары педагогикалық мектебі) «- Ходждың адикалық теориясы«. Соған қарамастан, мен дәл осы лекцияны осында талқылауды жөн көрдім.

Геометрия-адикалық дүниелер

Бұл қарапайым кішкентай нәрселерден басталады. Оқырман, жазба алмасу әдісі есіңізде ме? Сөзсіз. Бастауыш мектептегі алаңсыз жылдарды еске түсіріңіз. 125051 санын 23-ке бөліңіз (бұл сол жақтағы әрекет). Оның әртүрлі болуы мүмкін екенін білесіз бе (оң жақтағы әрекет)?

Бұл жаңа әдіс қызықты. Мен соңынан барамын. 125051 санын 23-ке бөлу керек. Соңғы сан 23 болу үшін 1-ті нешеге көбейту керек? Жадтан іздеңіз және :=7. Нәтиженің соңғы саны 7. Көбейтеміз, азайтамыз, 489 аламыз. 23-ті қалай көбейткенде 9 шығады? Әрине, 3. Біз нәтиженің барлық сандарын анықтайтын нүктеге жетеміз. Біз оны практикалық емес және әдеттегі әдіске қарағанда қиын деп санаймыз - бірақ бұл тәжірибе мәселесі!

Ержүрек адам толық бөлгішке бөлінбесе, жағдай басқаша болады. Бөлуді орындап, не болатынын көрейік.

Сол жақта әдеттегі мектеп жолы. Оң жақта «біздің біртүрлілер».

Екі нәтижені де көбейту арқылы тексере аламыз. Біріншісін түсінеміз: 4675 санының үштен бірі бір мың бес жүз елу сегіз, ал периодтағы үшеу. Екіншісі мағынасы жоқ: бұл санның алдында шексіз алтылық, содан кейін 8225 саны қандай?

Мағына мәселесін бір сәтке қалдырайық. Ойнайық. Ендеше 1-ді 3-ке, содан кейін 1-ді 7-ге бөлейік, бұл үштен бір және жетінші. Біз оңай аламыз:

1:3=…6666667, 1/7=…(285714)3.

Бұл соңғы жол мынаны білдіреді: блок 285714 басында шексіз қайталанады және соңында олардың үшеуі бар. Сенбейтіндер үшін мына сынақ:

Енді бөлшектерді қосайық:

Содан кейін алынған біртүрлі сандарды қосамыз, және біз сол біртүрлі санды аламыз (тексереміз).

......95238095238095238095238010

тең екенін тексере аламыз

Түпнұсқа әлі көрінбейді, бірақ арифметика дұрыс.

Тағы бір мысал.

Кәдімгі, үлкен болса да, 40081787109376 санының қызықты қасиеті бар: оның шаршысы да 40081787109376 аяқталады. саны x40081787109376, ол ( x40081787109376)² сонымен қатар x40081787109376 аяқталады.

Кеңес. Бізде 40081787109376²= 16065496 57881340081787109376, сондықтан келесі цифр үш-ондық толықтауыш, ол 7. Тексерейік: 740081787109376²= 5477210516110077400817 87109376.

Неліктен бұлай болды деген сұрақ өте қиын. Бұл оңайырақ: 5-ке аяқталатын сандарға ұқсас жалғауларды табыңыз. Келесі цифрларды табу процесін шексіз жалғастыра отырып, біз осындай «сандарға» келеміз ²=²= (және бұл сандардың ешқайсысы нөлге немесе бірге тең емес).

жақсы түсінеміз. Ондық бөлшектен кейін неғұрлым алыс болса, сан соғұрлым маңызды емес. Инженерлік есептеулерде ондық бөлшектен кейінгі бірінші цифр, екінші сияқты маңызды, бірақ көп жағдайда шеңбердің шеңберінің оның диаметріне қатынасы 3,14 деп болжауға болады. Әрине, авиация саласына көбірек сандарды енгізу керек, бірақ оннан аспайды деп ойлаймын.

Аты мақаланың атауында пайда болды Станислав Лем (1921-2006), сондай-ақ біздің жаңа Нобель сыйлығының лауреаты. Ханым Ольга Токарчук Мен мұны тек өйткені айттым әділетсіздік деп айқайлайдыӨйткені, Станислав Лем әдебиет бойынша Нобель сыйлығын алған жоқ. Бірақ ол біздің бұрышта емес.

Лем көбінесе болашақты болжайтын. Олар адамдардан тәуелсіз болған кезде не болатынын ойлады. Соңғы уақытта осы тақырыпта қаншама фильмдер пайда болды! Лем оптикалық оқырманды және болашақтың фармакологиясын дәл болжап, сипаттады.

Ол математиканы кейде оны ою-өрнек ретінде қарастырса да, есептеудің дұрыстығына мән бермеген. Мысалы, «Сынақ» әңгімесінде Пиркс ұшқышы В68 орбитасына 4 сағат 29 минут айналу кезеңімен шығады, ал нұсқау 4 сағат 26 минутты құрайды. Олардың 0,3 пайыздық қателікпен есептегені есінде. Ол Калькуляторға деректерді береді, ал калькулятор бәрі жақсы деп жауап береді ... Жақсы, жоқ. 266 минуттың оннан үш бөлігі бір минуттан аз. Бірақ бұл қате ештеңені өзгерте ме? Мүмкін әдейі болған шығар?

Мен бұл туралы не үшін жазып отырмын? Көптеген математиктер бұл сұрақты да көтерді: қауымдастықты елестетіңіз. Оларда біздің адамдық санамыз жоқ. Біз үшін 1609,12134 және 1609,23245 өте жақын сандар - ағылшын мильіне жақсы жуықтау. Дегенмен, компьютерлер 468146123456123456 және 9999999123456123456 сандарын жақын деп санауы мүмкін. Олардың он екі таңбалы соңы бірдей.

Соңындағы жалпы сандар неғұрлым көп болса, сандар соғұрлым жақын болады. Ал бұл қашықтық деп аталатын нәрсеге әкеледі -адик. Бір сәтте p 10-ға тең болсын; неге «біраз уақытқа», мен түсіндіремін ... қазір. Жоғарыда жазылған сандардың 10 нүктелік қашықтығы 

немесе миллионнан бір - өйткені бұл сандардың соңында алты ортақ цифр бар. Барлық бүтін сандар нөлден бір немесе одан кем ерекшеленеді. Мен тіпті үлгі жазбаймын, себебі бұл маңызды емес. Соңында бірдей сандар неғұрлым көп болса, сандар соғұрлым жақын болады (адам үшін, керісінше, бастапқы сандар қарастырылады). p жай сан болуы маңызды.

Содан кейін - олар нөлдер мен бірлерді ұнатады, сондықтан олар мына үлгілерде бәрін көреді: 0100110001 1010101101010101011001010101010101111.

«Глос Пана» романында Станислав Лем, әрине, нөл-бір кодымен кейінгі өмірден жіберілген хабарламаны оқуға тырысу үшін ғалымдарды жалдайды. Бізге біреу жаза ма? Лем «кез келген хабарлама біреу бізге бірдеңе айтқысы келген хабарлама болса, оқуға болады» деп дәлелдейді. Бірақ солай ма? Мен оқырмандарды осы дилеммамен қалдырамын.

Біз XNUMXD кеңістігінде өмір сүреміз R³. Хат R осьтер нақты сандардан, яғни бүтін сандардан, теріс және оң сандардан, нөлден, рационалды (яғни бөлшек) және иррационалды, оларды мектепте оқитындар () және алгебрада қол жетпес трансценденттік сандар деп аталатын сандардан (бұл π саны) тұратынын еске салады. , ол екі мың жылдан астам шеңбердің диаметрін оның шеңберімен байланыстырады).

Біздің кеңістіктің осьтері -адикалық сандар болса ше?

Ежи Миодушовский, Силезия университетінің математигі бұл солай болуы мүмкін, тіпті солай болуы мүмкін деп дәлелдейді. Біз (Ежи Миодушевский айтады) мұндай тіршілік иелерімен бір-бірімізге араласпай, көрмей-ақ кеңістікте бір орынды иелене аламыз.

Сонымен, бізде «олардың» әлемінің барлық геометриясы бар. «Олардың» біз туралы бірдей ойлайтыны және біздің геометрияны зерттейтіні екіталай, өйткені біздікі барлық «олардың» әлемдерінің шекаралық жағдайы. «Олар», яғни олар жай сандар болатын барлық тозақ дүниелері. Атап айтқанда, = 2 және нөл-бірдің бұл қызықты әлемі ...

Бұл жерде мақала оқырманы ашуланып, тіпті ашулануы мүмкін. «Математиктер осылай жасайтын сандырақ па? Олар менің (=салық төлеушінің) ақшасымен кешкі астан кейін арақ ішуді қиялдайды. Ал төрт желге таратып жібер, совхозға кетсін... ау, енді совхоз жоқ!

Босаңсыңыз. олар әрқашан мұндай әзілдерге бейім болатын. Мен сэндвич теоремасын айта кетейін: егер менде ірімшік пен ветчина бар сэндвич болса, тоқашты, ветчинаны және ірімшікті екіге бөлу үшін оны бір кесуге тура аламын. Бұл іс жүзінде пайдасыз. Мәселе мынада, бұл функционалдық талдаудан алынған қызықты жалпы теореманың ойнақы қолданылуы.

Адик сандармен және байланысты геометриямен айналысу қаншалықты маңызды? Оқырманға рационал сандар (қарапайым түрде: бөлшек) сызықта тығыз орналасқанын, бірақ оны тығыз толтырмайтынын еске саламын.

Иррационал сандар «тесіктерде» тұрады. Олардың саны өте көп, шексіз көп, бірақ олардың шексіздігі біз санайтын қарапайымдарынан да үлкен деп айтуға болады: бір, екі, үш, төрт ... және т.б. ∞ дейін. Бұл біздің адамдық «тесіктерді» толтыру. Біз бұл психикалық құрылымды мұра еттік Пифагоршылар. 

Бірақ математик үшін қызықты және маңызды нәрсе - бұл саңылауларды иррационал және p-адикалық сандармен (барлық p жай сандары үшін) «толтыруға» болмайды. Мұны түсінетін оқырмандар үшін (және бұл отыз жыл бұрын әрбір орта мектепте оқытылды), мәселе мынада: кез келген реттілік қанағаттандырады. Коши жағдайы, жинақталады.

Бұл ақиқат болатын кеңістік толық деп аталады («ештеңе жоқ»). 547721051611007740081787109376 номері есімде.

0,5, 0,54, 0,547, 0,5477, 0,54772 және т.б. тізбегі белгілі бір шекке жиналады, ол шамамен 0,5477210516110077400 81787109376.

Дегенмен, 10-адикалық қашықтық тұрғысынан алғанда, 6, 76, 376, 9376, 109376, 7109376 және т.б. сандар тізбегі де «біртүрлі» санға жақындайды ... 547721051 611007740081787109376.

Бірақ бұл ғалымдарға мемлекеттік ақша беруге жеткілікті себеп болмауы мүмкін. Жалпы, біз (математиктер) зерттеуіміздің не үшін пайдалы болатынын болжау мүмкін емес деп өзімізді қорғаймыз. Әркімнің қандай да бір пайдасы болатыны және кең майдандағы әрекеттің ғана табысқа жету мүмкіндігі бар екені анық.

Ең үлкен өнертабыстың бірі – рентген аппараты радиоактивтілік кездейсоқ ашылғаннан кейін жасалды беккерел. Егер бұл жағдай болмаса, көптеген жылдар бойы жүргізілген зерттеулердің пайдасы жоқ болар еді. «Біз адам денесін рентгенге түсірудің жолын іздеп жатырмыз».

Ақырында, ең бастысы. Әрқайсысы теңдеулерді шешу қабілетінің рөл атқаратынын келіседі. Ал мұнда біздің оғаш сандар жақсы қорғалған. Сәйкес теорема (Мен Минковскиді жек көремін) кейбір теңдеулерді әрбір -адикалық денеде нақты түбірлер мен түбірлер болған жағдайда ғана рационал сандармен шешуге болатынын айтады.

Бұл тәсіл азды-көпті ұсынылды Эндрю Уайлс, ол соңғы үш жүз жылдағы ең әйгілі математикалық теңдеуді шешті - мен оқырмандарға оны іздеу жүйесіне енгізуді ұсынамын «Ферманың соңғы теоремасы».