Геометриялық жолдар мен тоғайлар
Осы мақаланы жазу барысында менің есіме Ян Пиетрзактың Польша Халық Республикасында сақтандырғыш клапан ретінде танылған Pod Egidą кабаресінде сатиралық қызметі алдында айтқан өте ескі әні түсті; жүйенің парадокстарына шын күлуге болады. Бұл өлеңінде автор саясаттан тыс болғысы келетіндерді келемеждеп, газеттегі радионы өшіріп, социалистік саяси қатысуды ұсынған. «Мектепке оқуға қайтып оралған дұрыс», - деп сол кездегі ХNUMX жастағы Петшак ирониямен ән айтты.
Мен мектепке оқуға қайтамын. Мен Щепан Еленскийдің (1881-1949) «Лилавати» кітабын қайта оқып жатырмын (бірінші рет емес). Бірнеше оқырман үшін бұл сөздің өзі бірдеңе айтады. Бұл Бхаскара (1114-1185) деген атпен белгілі үнділік атақты математиктің Акария есімді қызының немесе алгебра туралы кітабын осы атпен атаған данышпанның есімі. Кейінірек Лилавати атақты математик және философ болды. Басқа деректерге сәйкес, кітапты өзі жазған.
Щепан Еленский де математикаға арналған кітабына (бірінші басылым, 1926 ж.) осындай атау берген. Бұл кітапты математикалық жұмыс деп атау тіпті қиын болуы мүмкін - бұл басқатырғыштар жиынтығы болды және негізінен француз дереккөздерінен қайта жазылған (қазіргі мағынада авторлық құқықтар жоқ). Қалай болғанда да, бұл көп жылдар бойы математика бойынша жалғыз танымал поляк кітабы болды - кейінірек оған Еленскийдің екінші кітабы «Пифагор тәттілері» қосылды. Сондықтан математикаға қызығатын жастардың (мен бір кездері дәл солай болдым) таңдайтын ештеңесі болмады ...
екінші жағынан, «Лилаватиді» жатқа білу керек еді... Әй, кездер болды... Олардың ең үлкен артықшылығы – ол кезде мен... жасөспірім едім. Бүгінгі күні білімді математик тұрғысынан мен Лилаватиге мүлде басқаша қараймын – мүмкін Шпигласова Пшеленчке баратын жолдың иілісіне шыққан альпинист сияқты. Бірі де, бірі де сүйкімділігін жоғалтпайды... Өзінің өзіне тән стилінде жеке өмірінде ұлттық идея деп жүрген Щепан Еленский алғы сөзінде:
Ұлттық ерекшеліктерді сипаттауға тоқталмай-ақ айтайын, тоқсан жыл өтсе де Еленскийдің математика туралы айтқан сөздері өзектілігін жойған жоқ. Математика сізді ойлауға үйретеді. Бұл факт. Біз сізге басқаша, қарапайым және әдемірек ойлауды үйрете аламыз ба? Мүмкін. Бұл жай... біз әлі де алмаймыз. Математикамен айналысқысы келмейтін оқушыларыма бұл да олардың интеллектінің сынағы екенін түсіндіремін. Егер сіз шынымен қарапайым математикалық теорияны меңгере алмасаңыз, онда... мүмкін сіздің ақыл-ой қабілеттеріңіз екеуміздің қалауымыздан да нашар шығар...?
Құмдағы белгілер
Міне, «Лилаватидегі» бірінші әңгіме – француз философы Джозеф де Майстр (1753-1821) суреттеген оқиға.
Апатқа ұшыраған кемеден шыққан теңізші адам тұрмаған деп есептеген бос жағаға толқынмен лақтырылды. Кенет жағалаудағы құмда біреудің алдынан сызылған геометриялық фигураның ізін көрді. Сол кезде ол аралдың қаңырап бос емес екенін түсінді!
Де Местридің сөзін келтіре отырып, Еленский былай деп жазады: геометриялық фигурабұл бақытсыз, апатқа ұшыраған, кездейсоқтық үшін мылқау өрнек болар еді, бірақ ол оған бір қарағанда пропорция мен санды көрсетті және бұл ағартушы адамның хабаршысы болды. Тарих үшін көп.
Есіңізде болсын, теңізші бірдей реакцияны тудырады, мысалы, K әрпін, ... және адамның қатысуының кез келген басқа іздерін салу. Мұнда геометрия идеалдандырылған.
Алайда астроном Камиль Фламмарион (1847-1925) геометрияны пайдалана отырып, өркениеттер бір-бірімен қашықтықтан амандасады деген ұсыныс жасады. Ол осыдан қарым-қатынастың жалғыз дұрыс және мүмкін әрекетін көрді. Осындай марсиялықтарға Пифагор үшбұрыштарын көрсетейік... олар бізге Фалеспен жауап береді, біз оларға вьета өрнектерімен жауап береміз, олардың шеңбері үшбұрышқа сыйып кетеді, осылайша достық басталды...
Жюль Верн, Станислав Лем сияқты жазушылар бұл идеяға қайта оралды. Ал 1972 жылы геометриялық (тек қана емес) өрнектері бар плиткалар әлі күнге дейін ғарыш кеңістігін басып өтетін Pioneer зондының бортына қойылды, қазір бізден 140 астрономиялық бірлік (1 I - Жердің Жерден орташа қашықтығы) . Күн, яғни шамамен 149 млн км). Бұл тақтайшаны ішінара астроном Фрэнк Дрейк әзірлеген, ол жерден тыс өркениеттердің саны туралы даулы ережені жасаушы.
Геометрия керемет. Бұл ғылымның шығу тегі туралы жалпы көзқарас бәрімізге белгілі. Біз (біз адамдар) ең пайдалы мақсаттар үшін жерді (кейінірек жерді) өлшей бастадық. Қашықтықты анықтау, түзу сызықтар сызу, тік бұрыштарды белгілеу және көлемдерді есептеу бірте-бірте қажеттілікке айналды. Демек, бәрі геометрия («Жерді өлшеу»), демек, барлық математика ...
Әйтсе де, ғылым тарихының осынау айқын көрінісі біраз уақытқа дейін бізді бұлдыратып жіберді. Өйткені математика тек операциялық мақсаттар үшін қажет болса, біз қарапайым теоремаларды дәлелдеумен айналыспас едік. Бірнеше тікбұрышты үшбұрыштардағы гипотенузалар квадраттарының қосындысы гипотенузаның квадратына тең екенін тексергеннен кейін: «Сіз бұл дұрыс болуы керек екенін көріп тұрсыз» деп айтуға болады. Неліктен мұндай формализм?
Алхоры пирогы дәмді болуы керек, компьютерлік бағдарлама жұмыс істеуі керек, машина жұмыс істеуі керек. Егер мен бөшкенің сыйымдылығын отыз рет санап, бәрі тәртіппен болса, онда неге басқа?
Осы арада ежелгі гректердің ойына кейбір ресми дәлелдерді табу керек деген ой келді.
Сонымен, математика Фалестен (б.з.д. 625-547) басталады. Мұның себебін Милет деп ойлай бастады. Ақылды адамдарға бір нәрсені көргені, бір нәрсеге көзі жеткені жеткіліксіз. Олар дәлелдеудің қажеттілігін, болжамнан тезиске дейінгі дәлелдердің логикалық тізбегін көрді.
Олар да көбірек алғысы келді. Физикалық құбылыстарды тәңірдің араласуынсыз, натуралистік жолмен алғаш рет түсіндіруге тырысқан Фалес болса керек. Еуропа философиясы табиғат философиясынан – физиканың артында тұрған нәрседен басталды (осыдан атауы: метафизика). Бірақ еуропалық онтология мен натурфилософияның негізін пифагоршылар (Пифагор, б.з.б. 580-500 жж.) салды.
Ол Апеннин түбегінің оңтүстігіндегі Кротон қаласында өз мектебін құрды – бүгінде оны секта деп атайтын едік. Ғылым (бұл сөздің қазіргі мағынасында), мистицизм, дін және қиял барлығы бір-бірімен тығыз байланысты. Томас Манн «Доктор Фауст» романында неміс гимназиясындағы математика сабақтарын өте әдемі көрсетті. Мария Курецкая мен Витольд Вирпша аударған бұл фрагментте былай делінген:
Чарльз ван Дореннің «Тарих таңынан бүгінгі күнге дейінгі білім тарихы» атты қызықты кітабында мен өте қызықты көзқарас таптым. Тараулардың бірінде автор Пифагор мектебінің маңыздылығын сипаттайды. Тарау тақырыбының өзі мені таң қалдырды. Онда: «Математиканың өнертабысы: Пифагоршылар» деп жазылған.
Біз математикалық теориялардың ашылып жатқанын (мысалы, белгісіз жерлер) немесе ойлап табылғанын (мысалы, бұрын болмаған машиналар) жиі талқылаймыз. Кейбір шығармашылық математиктер өздерін зерттеушілер, басқалары өнертапқыштар немесе дизайнерлер ретінде көреді, сирек есептегіштер.
Бірақ бұл кітаптың авторы жалпы математиканың өнертабысы туралы жазады.
Асыра сілтеуден адасуға дейін
Осы ұзақ кіріспе бөлімнен кейін мен ең басына көшемін. геометриягеометрияға шамадан тыс тәуелділік ғалымды қалай адастыратынын сипаттау. Иоганнес Кеплер физика мен астрономияда аспан денелері қозғалысының үш заңын ашушы ретінде белгілі. Біріншіден, Күн жүйесіндегі әрбір планета күнді эллипс тәріздес орбита бойынша айналады, оның бір ошағында күн болады. Екіншіден, тұрақты аралықтарда Күннен тартылған планетаның жетекші сәулесі бірдей өрістерді тартады. Үшіншіден, планетаның Күнді айнала айналу кезеңінің квадратының оның орбитасының жартылай үлкен осінің кубына қатынасы (яғни Күннен орташа қашықтық) Күн жүйесіндегі барлық планеталар үшін тұрақты.
Мүмкін, бұл үшінші заң болды - оны орнату үшін көптеген деректер мен есептеулер қажет болды, бұл Кеплерді планеталардың қозғалысы мен орнындағы заңдылықтарды іздеуді жалғастыруға итермеледі. Оның жаңа «ашуының» тарихы тағылымы мол. Ежелгі заманнан бері біз тұрақты көп қырлыларға ғана емес, сонымен бірге олардың ғарышта бесеуі ғана бар екенін көрсететін дәлелдерге де таң қалдық. Үш өлшемді көпбұрышты дұрыс деп атайды, егер оның беттері бірдей дұрыс көпбұрыштар болса және әрбір төбесінде жиектер саны бірдей болса. Көрнекі түрде, кәдімгі көпбұрыштың әрбір бұрышы «бірдей көрінуі» керек. Ең танымал көпбұрыш - текше. Барлығы кәдімгі балтырды көрді.
Тұрақты тетраэдр аз белгілі, ал мектепте оны тұрақты үшбұрышты пирамида деп атайды. Ол пирамидаға ұқсайды. Қалған үш тұрақты көп қырлылар азырақ белгілі. Кубтың шеттерінің орталықтарын қосқанда октаэдр пайда болады. Додекаэдр мен икосаэдр қазірдің өзінде шарларға ұқсайды. Жұмсақ былғарыдан жасалған, олар қазуға ыңғайлы болар еді. Бес платондық қатты денеден басқа тұрақты көп қырлылар жоқ деген тұжырым өте жақсы. Біріншіден, егер дене дұрыс болса, онда әр төбеде бірдей дұрыс көпбұрыштардың бірдей саны (q болсын) жиналуы керек екенін түсінеміз, бұл p-бұрыштары болсын. Енді дұрыс көпбұрыштың бұрышы қандай екенін есте сақтауымыз керек. Егер біреу мектептен есіне түспесе, біз сізге дұрыс үлгіні қалай табуға болатынын еске саламыз. Біз бұрышқа саяхат жасадық. Әрбір төбеде біз бірдей а бұрышы арқылы бұрыламыз. Біз көпбұрышты айналып өтіп, бастапқы нүктеге оралғанда, біз p осындай бұрылыстар жасап, барлығы 360 градусқа айналдырдық.
Бірақ α - біз есептегіміз келетін бұрыштың 180 градус толықтаушысы, сондықтан солай
Біз дұрыс көпбұрыштың бұрышының формуласын таптық (математик былай дейді: бұрыштың өлшемдері). Тексерейік: p = 3 үшбұрышында а жоқ
Бұл сияқты. p = 4 (шаршы) болғанда, онда
дәрежесі де жақсы.
Бесбұрыш үшін не аламыз? Сонымен, әрбір p бұрыштары бірдей q көпбұрыштар болғанда не болады
градустардың бір шыңында кемуі? Егер ол жазықтықта болса, онда бұрыш пайда болар еді
градус және 360 градустан аспауы керек - өйткені онда көпбұрыштар қабаттасады.
Дегенмен, бұл көпбұрыштар кеңістікте кездесетіндіктен, бұрыш толық бұрыштан кіші болуы керек.
Міне, осының бәрі шығатын теңсіздік:
Оны 180-ге бөлеміз, екі бөлікті де р-ге көбейтеміз, реті (p-2) (q-2) < 4. Бұдан әрі не шығады? p және q натурал сандар болуы керек екенін және p > 2 (неліктен? Ал p дегеніміз не?) және q > 2 екенін білейік. Екі натурал санның көбейтіндісін 4-тен кіші етудің көптеген жолдары жоқ. Біз Олардың барлығын 1-кестеде көрсетемін.
Мен сызбаларды орналастырмаймын, бұл фигураларды интернеттен барлығы көре алады... Интернетте... Лирикалық шегінуден бас тартпаймын – бұл жас оқырмандарға қызық шығар. 1970 жылы семинарда сөз сөйледім. Тақырып қиын болды. Дайындыққа уақытым аз болды, кешке отырдым. Негізгі мақала тек оқуға арналған жерде болды. Орын жайлы, жұмыс атмосферасы бар, ол жетіде жабылды. Содан кейін қалыңдық (қазір менің әйелім) маған мақаланы толығымен қайта жазуды ұсынды: он шақты баспа беті. Мен оны көшіріп алдым (жоқ, қаламсаппен емес, тіпті қаламдарымыз да болды), лекция сәтті өтті. Бүгін мен ескірген бұл басылымды іздеп көрдім. Тек автордың аты ғана есімде... Интернеттегі іздеулер ұзаққа созылды... толық он бес минут. Мен бұл туралы күлімсіреп, аздап орынсыз өкінішпен ойлаймын.
Біз қайтып барамыз Кеплер және геометрия. Шамасы, Платон бесінші тұрақты форманың болуын болжаған болса керек, өйткені оған бүкіл әлемді қамтитын біріктіруші нәрсе жетіспеді. Сондықтан болар, ол студентке (Theajtet) оны іздеуді тапсырды. Қалай болды, солай болды, соның негізінде додекаэдр ашылды. Платонның мұндай көзқарасын біз пантеизм деп атаймыз. Ньютонға дейін барлық ғалымдар оған азды-көпті дәрежеде көнді. Өте ұтымды он сегізінші ғасырдан бері оның ықпалы күрт төмендеді, дегенмен біз бәріміз оған бір немесе басқа жолмен көнетінімізден ұялмауымыз керек.
Кеплердің Күн жүйесін құру концепциясында бәрі дұрыс болды, эксперименттік деректер теориямен сәйкес келді, теория логикалық тұрғыдан үйлесімді, өте әдемі болды ... бірақ мүлдем жалған. Оның кезінде тек алты планета белгілі болды: Меркурий, Венера, Жер, Марс, Юпитер және Сатурн. Неліктен тек алты планета бар? — деп сұрады Кеплер. Ал олардың Күннен қашықтығы қандай заңдылықпен анықталады? Ол бәрі байланысты деп есептеді, бұл геометрия және космогония бір-бірімен тығыз байланысты. Ежелгі гректердің жазбаларынан ол тек бес тұрақты көп қырлы бар екенін білген. Ол алты орбита арасында бес бос орын бар екенін көрді. Мүмкін бұл бос кеңістіктердің әрқайсысы қандай да бір қалыпты көпбұрышқа сәйкес келеді ме?
Бірнеше жылдық бақылаулар мен теориялық жұмыстардан кейін ол 1596 жылы жарық көрген «Mysterium Cosmographicum» кітабында ұсынылған орбиталардың өлшемдерін өте дәл есептеп, келесі теорияны жасады: Үлкен шарды елестетіп көріңіз, оның диаметрі Меркурийдің күн айналасындағы жылдық қозғалысындағы орбитасының диаметрі. Олай болса, мына сферада дұрыс октаэдр, оның үстінде шар, оның үстінде икосаэдр, оның үстінде тағы шар, оның үстінде додекаэдр, оның үстінде басқа шар, оның үстінде тетраэдр, сосын тағы да шар, текше бар деп елестетіп көрші. және, ең соңында, бұл текшеде доп сипатталады.
Кеплер бұл дәйекті шарлардың диаметрі басқа планеталардың: Меркурий, Венера, Жер, Марс, Юпитер және Сатурн орбиталарының диаметрлері деген қорытындыға келді. Теория өте дәл болып көрінді. Өкінішке орай, бұл эксперименттік деректермен сәйкес келді. Математикалық теорияның дұрыстығына оның эксперименттік деректермен немесе бақылау деректерімен, әсіресе «аспаннан алынған» сәйкестігінен артық қандай дәлел бар? Мен бұл есептеулерді 2-кестеде қорытындылаймын. Сонымен Кеплер не істеді? Мен ол орындалғанша, яғни конфигурация (шарлардың реті) және алынған есептеулер бақылау деректерімен сәйкес келгенше тырыстым және тырыстым. Міне, қазіргі заманғы Kepler сандары мен есептеулері:
Теорияның қызығына бой алдыруға болады және шеберхананың тыныштығында жасалған есептеулер емес, аспандағы өлшемдердің дәл емес екеніне сенуге болады. Өкінішке орай, бүгінде біз кем дегенде тоғыз планета бар екенін және нәтижелердің барлық сәйкестіктері жай ғана сәйкестік екенін білеміз. Өкінішті. Бұл өте әдемі болды ...
