Түсті квадраттар және күн тұтылулары

Мақалада менің Ұлттық балалар қорының стипендиаттарының орта сынып оқушыларына арналған сабақтары сипатталған. Қор ерекше дарынды балалар мен жастарды (бастауыш мектептің XNUMX-сыныбынан орта мектепке дейін) іздейді және таңдалған студенттерге «стипендиялар» ұсынады. Дегенмен, олар қолма-қол ақшаны алудан емес, әдетте, көптеген жылдар бойы дарындылықты дамытуға жан-жақты қамқорлық жасаудан тұрады. Осы типтегі көптеген басқа жобалардан айырмашылығы, белгілі ғалымдар, мәдениет қайраткерлері, көрнекті гуманистер және басқа да дана адамдар, сондай-ақ кейбір саясаткерлер Қор қамқорлығындағыларға шындап қарайды.

Қор қызметі спортты, оның ішінде өнерді қоспағанда, мектептің негізгі пәндері болып табылатын барлық пәндерге таралады. Қор 1983 жылы сол кездегі шындыққа қарсы құрал ретінде құрылған. Кез келген адам қорға өтініш бере алады (әдетте мектеп арқылы, жақсырақ оқу жылының соңына дейін), бірақ, әрине, белгілі бір елеуіш, белгілі бір біліктілік процедурасы бар.

Жоғарыда айтып өткенімдей, мақала менің 2016 жылдың наурыз айында Гдыня қаласында III орта мектеп жанындағы 24-ші орта мектепте өткен шеберлік сабақтарыма негізделген. Әскери-теңіз күштері. Ұзақ жылдар бойы бұл семинарларды Қордың демеушілігімен ерекше харизма және жоғары интеллектуалды деңгей мұғалімі Войцех Томальчик ұйымдастырып келеді. 2008 жылы ол Польшадағы алғашқы ондыққа кірді, оларға педагогика профессоры атағы берілді (көп жылдар бұрын заңмен қарастырылған). «Білім – дүниенің осі» деген сөзде шамалы әсірелеу бар.

және ай әрқашан қызықты - сонда біз барлық қозғалыста, сантиметрмен және секундпен өлшенетін үлкен кеңістіктегі кішкентай планетада өмір сүріп жатқанымызды сезінесіз. Бұл тіпті мені аздап қорқытады, сонымен қатар уақыт перспективасы. Бүгінгі Варшава аймағынан көрінетін келесі толық тұтылу ... 2681 жылы болатынын білеміз. Қызық, оны кім көреді? Біздің аспандағы Күн мен Айдың көрінетін өлшемдері бірдей дерлік - сондықтан тұтылулар соншалықты қысқа және өте әсерлі. Ғасырлар бойы бұл қысқа минуттар астрономдарға күн тәжін көру үшін жеткілікті болуы керек. Бір қызығы, олардың жылына екі рет болатыны... бірақ бұл тек Жердің бір жерінде оларды қысқа уақыт ішінде көруге болатынын білдіреді. Толқындық қозғалыстардың нәтижесінде Ай Жерден алыстап барады - 260 миллион жылдан кейін ол соншалықты алыс болады, біз (біз???) сақиналы тұтылуларды ғана көреміз.

Бірінші болып болжаған сияқты тұтылу, Милеттік Фалес (б.з.б. 28-585 ғ.) болды. Оның шын мәнінде болғанын, яғни болжағанын білмей қалатын шығармыз, өйткені Кіші Азиядағы күн тұтылуы біздің дәуірімізге дейінгі 567, 566 жылы мамырда болғаны қазіргі есептеулермен расталған факт. Әрине, бүгінгі уақыт есебі үшін деректерді келтіремін. Мен бала кезімде адамдардың жыл санайтынын елестететінмін. Мәселен, бұл, мысалы, XNUMX BC, Жаңа жыл кеші келеді және адамдар қуанады: тек ХNUMX жыл б.э.д. Ақырында “біздің дәуір” келгенде олар қандай қуанса керек! Бірнеше жыл бұрын біз мыңжылдықтардың бұрылысын бастан өткердік!

Күндер мен диапазондарды есептеу математикасы тұтылу, әсіресе күрделі емес, бірақ жүйелілікпен және одан да жаманы, орбиталардағы дененің біркелкі қозғалысымен байланысты барлық факторларға толы. Мен тіпті осы математиканы білгім келеді. Милеттік Фалес қажетті есептеулерді қалай жасай алды? Жауап қарапайым. Сізде аспан картасы болуы керек. Мұндай картаны қалай жасауға болады? Бұл да қиын емес, ежелгі мысырлықтар мұны қалай жасау керектігін білген. Түн ортасында екі діни қызметкер ғибадатхананың төбесіне шығады. Әрқайсысы отырып, көргенін сызады (әріптесі сияқты). Екі мың жылдан кейін біз планеталардың қозғалысы туралы бәрін білеміз ...

Әдемі геометрия немесе «кілемдегі» қызық

Гректер сандарды ұнатпады, олар геометрияға жүгінді. Міне, біз мұны істейміз. Біздің тұтылу олар қарапайым, түрлі-түсті, бірақ қызықты және шынайы болады. Біз көк фигура қызылды ұстап тұратындай етіп қозғалады деген шартты қабылдаймыз. Көк фигураны ай, қызыл фигураны күн деп атайық. Біз өзімізге келесі сұрақтарды қоямыз:

1. тұтылу қанша уақытқа созылады;
2. нысананың жартысы қамтылған кезде;

   Күріш. 1 Күн мен ай бейнеленген түрлі-түсті «кілем».

3. максималды қамту қандай;
4. қалқанды жабудың уақытқа тәуелділігін талдауға болады ма? Бұл мақалада (мәтіннің көлемімен шектелемін) мен екінші сұраққа тоқталамын. Мұның артында скучно есептеулерсіз жақсы геометрия жатыр. Суретті қарастырайық. 1. Күннің тұтылуымен ... байланысты болады деп болжауға бола ма?

Шынымды айтсам, мен талқылайтын тапсырмалар арнайы іріктеліп, орта және жоғары сынып оқушыларының білімдері мен дағдыларына бейімделеді. Бірақ біз музыканттар таразы ойнайды, ал спортшылар жалпы дамыту жаттығуларын жасайды сияқты тапсырмаларды орындаймыз. Оның үстіне бұл жай ғана әдемі кілемше емес пе (1-сурет)?

Күріш. 2 «Көк» Ай және «Қызыл» Күн

Біздің аспан денелері, ең болмағанда, бастапқыда түсті квадраттар болады. Ай көк, күн қызыл (бояу үшін ең жақсы). қазіргімен тұтылу Ай күнді аспан арқылы қуып жетіп, ... оны жабады. Бізде де солай болады. Ең қарапайым жағдай, Айдың Күнге қатысты қозғалуы, суретте көрсетілгендей. 2. Тұтылу Ай дискісінің шеті Күн дискінің шетіне тиген кезде басталып (2-сурет) және одан асып кеткенде аяқталады.

Күріш. 3 Ай Күнге диагональ бойынша жақындайды

«Ай» уақыт бірлігінде, мысалы, минутына бір ұяшықты жылжытады деп есептейміз. Содан кейін тұтылу сегіз уақыт бірлігіне, айталық, минутқа созылады. Жартысы күн тұтылулары толығымен күңгірттенген Цифербльдің жартысы екі рет жабылады: 2 және 6 минуттан кейін. Проценттік көмескілеу графигі қарапайым. Алғашқы екі минут ішінде қалқан нөлден 1-ге дейінгі жылдамдықпен біркелкі жабылады, келесі екі минутта ол бірдей жылдамдықпен ашылады.

Міне, қызықтырақ мысал (3-сурет). Ай Күнге диагональ бойынша жақындайды. Біздің минуттық төлем келісімімізге сәйкес, тұтылу 8√ созылады2 минуттар - осы уақыттың ортасында бізде толық тұтылу бар. t уақытынан кейін күннің қай бөлігі жабылатынын есептейік (3-сурет). Егер тұтылу басынан бері t минут өткен болса және нәтижесінде Ай суретте көрсетілгендей болса. 5, содан кейін (назар аударыңыз!) Сондықтан, ол жабылған (APQR шаршысының ауданы), күн дискісінің жартысына тең; сондықтан ол жабылған кезде, яғни. 4 минуттан кейін (содан кейін тұтылу аяқталуына 4 минут қалғанда).

Күріш. 4 «Көлеңкелеу» функциясының графигі

Жалпылық бір сәтке созылады (t = 4√2), ал «көлеңкелі бөлік» функциясының графигі параболаның екі доғасынан тұрады (4-сурет).

Біздің көк ай бұрышқа қызыл күнмен жанасады, бірақ ол диагональ бойынша емес, аздап диагональ бойынша жүріп, оны жауып тастайды.Қозғалысты аздап қиындатқанда қызықты геометрия пайда болады (6-сурет). Қозғалыс бағыты енді вектор [4,3], яғни «төрт ұяшық оңға, үш ұяшық жоғары». Күннің орналасуы «аспан денелерінің» жақтары ұзындығының төрттен біріне жақындағанда тұтылу басталады (А позициясы). Ай В позициясына ауысқанда ол Күннің алтыдан бір бөлігін, ал С позициясында жартысын тұтады. D позициясында бізде толық тұтылу бар, содан кейін бәрі «бұрынғыдай» кері кетеді.

Күріш. 5 t уақытында жасырылған Күннің бір бөлігі

Тұтылу Ай G позициясында болғанда аяқталады. Ол сонша уақытқа созылды қиманың ұзындығы AG. Егер бұрынғыдай уақыт бірлігі ретінде Айдың «бір шаршы» өтетін уақытын алсақ, онда АГ ұзындығы тең болады. Егер біз аспан денелері 4-тен 4-ке тең деген ескі конвенцияға оралсақ, нәтиже басқаша болар еді (не?). Көрсету оңай болғандықтан, мақсат t < 15-тен кейін жабылады. «Экранды қамту пайызы» функциясының графигін күріштен көруге болады. 6.

Күріш. 6 «Проценттік қорғау» функциясының графигі

Тұтылу және секіру теңдеуі

Күріш. 7 Суретте көрсетілген тұтылу кезінде күн дискісінің кедергісі. 6

Егер біз шеңберлер жағдайын қарастырмасақ, тұтылу мәселесі толық болмас еді. Бұл әлдеқайда күрделірек, бірақ бір шеңбер екіншісінің жартысын тұтылатынын анықтауға тырысайық - және қарапайым жағдайда, олардың біреуі екеуін қосатын диаметр бойымен қозғалған кезде. Ұсыныс кейбір несие картасының иелеріне таныс.

Өрістердің орнын есептеу қиын, өйткені ол, біріншіден, дөңгелек сегменттің ауданы формуласын білуді, екіншіден, бұрыш доғасын білуді, үшіншіден (және ең нашар) қабілеттілікті қажет етеді. белгілі бір секіру теңдеуін шешу. «Өтпелі теңдеу» дегеннің не екенін түсіндірмеймін, мысалды қарастырайық (8-сурет).

Күріш. 8 «Сфералық» тұтылу

Дөңгелек қима - бұл шеңберді түзу сызықпен кескеннен кейін қалатын «ыдыс». Мұндай сегменттің ауданы S = 1/2r²(φ-sinφ), мұндағы r – шеңбердің радиусы, ал φ – кесінді тірелген орталық бұрыш (8-сурет). Мұны дөңгелек сектордың ауданынан үшбұрыштың ауданын алу арқылы оңай алуға болады.

О эпизоды₁O₂ (шеңберлердің центрлерінің арасындағы қашықтық) онда 2rcosφ/2 тең, ал биіктігі (ені, «бел сызығы») h = 2rsinφ/2. Сонымен, егер Ай күн дискісінің жартысын қашан жауатынын есептегіміз келсе, теңдеуді шешуіміз керек: ол оңайлатылғаннан кейін келесіге айналады:

Күріш. 9 Екі функцияның графигі

Мұндай теңдеулерді шешу қарапайым алгебра шеңберінен шығады – теңдеу бұрыштарды да, олардың тригонометриялық функцияларын да қамтиды. Теңдеу дәстүрлі әдістердің мүмкіндігінен тыс. Сондықтан да солай аталады секіру. Алдымен екі функцияның, яғни функциялар мен функциялардың графиктерін қарастырайық.Осы суреттен шамамен шешімді оқи аламыз. Дегенмен, біз итеративті жуықтауды ала аламыз немесе… Excel электрондық кестесіндегі Шешуші опциясын пайдалана аламыз. Әрбір жоғары сынып оқушысы мұны істей алуы керек, өйткені бұл 20 ғасыр. Мен күрделірек Mathematica құралын қолдандым және міне, қажетсіз дәлдіктің ХNUMX ондық таңбалары бар шешіміміз:

SetPrecision[FindRoot[x==Sin[x]+Pi/2,{x,2}],20] {x⇒2.3098814600100574523}.

Күріш. 10 Математикадағы тұтылу анимациясы

Мұны 180/π көбейту арқылы градусқа айналдырамыз. Біз 132 градус, 20 минут, 45 және доғаның төрттен бір секундын аламыз. Шеңбердің центріне дейінгі қашықтық О екенін есептейміз₁O₂ = 0,808 радиус, ал «бел» 2,310.