КІМГЕ, яғни: ҚОЛДАН БАР ЖЕРДЕ СЫРЫП КӨР – 2-бөлім

Алдыңғы бөлімде біз сандар белгілі бір ережелерге сәйкес әртүрлі диаграммаларда орналасатын арифметикалық ойын Судокумен айналыстық. Ең көп таралған нұсқа - 9 × 9 шахмат тақтасы, қосымша тоғыз 3 × 3 ұяшыққа бөлінген. Оған 1-ден 9-ға дейінгі сандар тік қатарда (математиктер айтады: бағанда) немесе көлденең жолда (математиктер айтады: қатарда) қайталанбайтын етіп орнатылуы керек - және, сонымен қатар, олар қайталанбайды. кез келген кішірек шаршы ішінде қайталаңыз.

Na інжір. 1 біз бұл басқатырғышты қарапайым нұсқада көреміз, ол 6 × 6 тіктөртбұрыштарға бөлінген 2 × 3 шаршы. Біз оған 1, 2, 3, 4, 5, 6 сандарын енгіземіз - олар тігінен де қайталанбауы үшін көлденеңінен де, таңдалған алтыбұрыштардың әрқайсысында да емес.

Жоғарғы шаршыда көрсетуге тырысайық. Осы ойынға белгіленген ереже бойынша 1-ден 6-ға дейінгі сандармен толтыра аласыз ба? Бұл мүмкін - бірақ түсініксіз. Көрейік - сол жақта шаршы немесе оң жақта шаршы сызыңыз.

Бұл басқатырғышқа негіз емес деп айта аламыз. Біз әдетте басқатырғыштың бір шешімі бар деп есептейміз. «Үлкен» Судоку, 9х9 үшін әртүрлі негіздерді табу міндеті - қиын міндет және оны толығымен шешуге мүмкіндік жоқ.

Тағы бір маңызды байланыс - қайшылықты жүйе. Төменгі ортаңғы шаршыны (төменгі оң жақ бұрышта 2 саны бар) толтыру мүмкін емес. Неліктен?

Көңілді және демалыс

Біз ойнаймыз. Балалардың интуициясын қолданайық. Олар ойын-сауықты оқуға кіріспе деп санайды. Ғарышқа ұшайық. қосылған інжір. 2 барлығы торды көреді тетраэдрдоптардан, мысалы, пинг-понг доптарынан? Мектептегі геометрия сабақтарын еске түсіру. Суреттің сол жағындағы түстер блокты құрастыру кезінде не желімделгенін түсіндіреді. Атап айтқанда, үш бұрыштық (қызыл) шарлар біреуіне жабыстырылады. Сондықтан олардың саны бірдей болуы керек. Мүмкін 9. Неліктен? Ал неге жоқ?

О, мен оны сөйлемедім тапсырмалар. Бұл келесідей естіледі: көрінетін торға 0-ден 9-ға дейінгі сандарды әр бет барлық сандарды қамтитын етіп жазуға бола ма? Тапсырма қиын емес, бірақ қанша елестету керек! Оқырмандардың қуанышын бұзбаймын және шешімін де бермеймін.

Бұл өте әдемі және бағаланбаған пішін. дұрыс октаэдр, негізі төртбұрышты екі пирамидадан (=пирамидалар) тұрғызылған. Аты айтып тұрғандай октаэдрдің сегіз беті бар.

Октаэдрде алты төбе бар. Ол қайшы келеді текшеоның алты беті және сегіз шыңы бар. Екі кесектің шеттері бірдей - әрқайсысы он екі. Бұл қос қатты заттар - бұл текшенің беттерінің центрлерін қосу арқылы октаэдр аламыз, ал октаэдр беттерінің орталықтары бізге текшені береді. Бұл соққылардың екеуі де орындалады («өйткені олар керек») Эйлер формуласы: Төбелер саны мен беттер санының қосындысы жиектер санынан 2-ге артық.

3. Параллель проекциядағы дұрыс октаэдр және әр шетінде төрт шар болатындай шарлардан тұратын октаэдр торы.

1 тапсырмасы. Алдымен математикалық формуланы пайдаланып, алдыңғы абзацтың соңғы сөйлемін жазыңыз. Үстінде інжір. 3 шарлардан тұратын сегіз қырлы торды көресіз. Әр шетінде төрт шар бар. Әрбір бет он шардан тұратын үшбұрыш. Мәселе дербес қойылады: қатты денені желімдеуден кейін әрбір қабырғада барлық сандар болатындай етіп тордың шеңберлеріне 0-ден 9-ға дейінгі сандарды қоюға болады ма (қайталаусыз). Бұрынғыдай, бұл тапсырмадағы ең үлкен қиындық - тордың қатты денеге айналуы. Мен оны жазбаша түсіндіре алмаймын, сондықтан мен бұл жерде шешімді де бермеймін.

4. Пинг-понг доптарынан екі икосаэдр. Түрлі түс схемасына назар аударыңыз.

қазірдің өзінде Платон (және ол б.з.б. XNUMX-XNUMX ғасырларда өмір сүрген) барлық дұрыс көп қырлыларды білген: тетраэдр, куб, октаэдр, dodecahedron i icosahedron. Оның қалай жеткені таңқаларлық – қарындаш, қағаз, қалам, кітап, смартфон, интернет жоқ! Мен бұл жерде дудекаэдр туралы айтпаймын. Бірақ икосаэдрлік судоку қызықты. Біз бұл кесекті көреміз иллюстрация 4және оның желісі 5-сурет.

5. Икосаэдрдің тұрақты торы.

Бұрынғыдай бұл мектептен есте қалған (?!) мағынадағы тор емес, шарлардан (шарлардан) үшбұрыштарды жапсыру тәсілі.

2 тапсырмасы. Мұндай икосаэдрді салу үшін қанша шар қажет? Келесі пайымдаулар әлі де дұрыс па: әрбір бет үшбұрыш болғандықтан, 20 бет болуы керек болса, онда 60 шар қажет пе?

6. Икосаэдрдің шарлардан жасалған торы. Әрбір шеңбер, мысалы, пинг-понг добы, бірақ бірдей түспен белгіленген шеңберлердегі шеңберлердің құрылысы бір шеңберге біріктіріледі. Сонымен, бізде он екі сфера бар (= он екі төбе: қызыл, көк, күлгін, көк және сегіз сары).

Икосаэдрдегі үш санның жеткіліксіз екенін байқау қиын емес. Дәлірек айтқанда: 1, 2, 3 сандары бар төбелерді санау мүмкін емес, сондықтан әрбір (үшбұрышты) беттің осы үш саны бар және қайталанулар болмайды. Төрт санмен мүмкін бе? Иә мүмкін! Қарап көрейік Күріш. 6 және 7.

7. Әр бетінде 1, 2, 3, 4-тен басқа сандар болатындай етіп, икосаэдрді құрайтын шарларды қалай нөмірлеу керек. Суреттегі денелердің қайсысы. 4 осындай түсті ме?

3 тапсырмасы. Төрт санның үшеуін төрт жолмен таңдауға болады: 123, 124, 134, 234. Суреттегі икосаэдрдегі осындай бес үшбұрышты табыңыз. 7 (сондай-ақ бастап иллюстрациялар 4).

4 тапсырмасы (өте жақсы кеңістіктік қиялды қажет етеді). Икосаэдрдің он екі төбесі бар, яғни оны он екі шардан бір-біріне жабыстыруға болады (інжір. 7). Назар аударыңыз, үш төбе (= шарлар) 1, үшеуі 2 және т.б. Осылайша, бір түсті шарлар үшбұрышты құрайды. Бұл үшбұрыш қандай? Мүмкін тең жақты? Қайтадан қараңыз иллюстрациялар 4.

Келесі тапсырма атасы/әжесі мен немересі/немересі. Ата-аналар да өз күштерін сынай алады, бірақ оларға шыдамдылық пен уақыт қажет.

5 тапсырмасы. Он екі (дұрысы 24) пинг-понг шарын, төрт түсті бояуды, қылқаламды және дұрыс желім сатып алыңыз - мен Superglue немесе Droplet сияқты жылдам түрлерін ұсынбаймын, өйткені олар тым тез кебеді және балалар үшін қауіпті. Икосаэдрге желім. Немереңізге бірден жуылатын (немесе лақтырылатын) футболка кигізіңіз. Үстелді фольгамен жабыңыз (жақсырақ газеттермен). Суретте көрсетілгендей икосаэдрді 1, 2, 3, 4 төрт түстермен мұқият бояңыз. інжір. 7. Сіз тәртіпті өзгерте аласыз - алдымен шарларды бояңыз, содан кейін оларды желімдеңіз. Сонымен қатар, бояу бояуға жабысып қалмас үшін кішкентай шеңберлерді бояусыз қалдыру керек.

Енді ең қиын тапсырма (дәлірек айтқанда, олардың бүкіл тізбегі).

6 тапсырмасы (Нақтырақ айтқанда, жалпы тақырып). Икосаэдрді тетраэдр және октаэдр ретінде сызыңыз Күріш. 2 және 3 Бұл әр шетінде төрт шар болуы керек дегенді білдіреді. Бұл нұсқада тапсырма көп уақытты қажет етеді және тіпті қымбатқа түседі. Сізге қанша шар қажет екенін анықтаудан бастайық. Әр беттің он сферасы бар, сондықтан икосаэдрге екі жүз керек пе? Жоқ! Біз көптеген шарлардың ортақ екенін есте ұстауымыз керек. Икосаэдрдің неше қыры бар? Оны мұқият есептеуге болады, бірақ Эйлер формуласы не үшін қажет?

w–k+s=2

мұндағы w, k, s сәйкесінше төбелердің, шеттердің және беттердің саны. Біздің есімізде w = 12, s = 20, бұл k = 30 дегенді білдіреді. Бізде икосаэдрдің 30 қыры бар. Сіз мұны басқаша жасай аласыз, өйткені 20 үшбұрыш болса, онда олардың тек 60 шеті бар, бірақ олардың екеуі ортақ.

Сізге қанша шар қажет екенін есептеп көрейік. Әрбір үшбұрышта бір ғана ішкі шар бар - біздің денеміздің жоғарғы жағында да, шетінде де емес. Осылайша, бізде барлығы 20 осындай шарлар бар. 12 шыңы бар. Әрбір жиекте екі төбесі жоқ шарлар бар (олар жиектің ішінде, бірақ беттің ішінде емес). 30 жиегі болғандықтан, 60 мәрмәр бар, бірақ олардың екеуі ортақ, яғни сізге тек 30 мәрмәр қажет, сондықтан жалпы саны 20 + 12 + 30 = 62 мәрмәр қажет. Шарларды кем дегенде 50 тиынға сатып алуға болады (әдетте қымбатырақ). Желімнің құнын қоссаңыз, ол ... көп шығады. Жақсы байланыстыру бірнеше сағаттық ауыр жұмысты қажет етеді. Олар бірге босаңсыған уақытты өткізуге жарамды - мен оларды, мысалы, теледидар көрудің орнына ұсынамын.

Шегіну 1. Анджей Важданың «Жылдар, күндер» фильмдер сериясында екі ер адам шахмат ойнайды, өйткені олар кешкі асқа дейін уақытты қалай өткізуі керек. Ол Галисия Краков қаласында өтеді. Шынында да: газеттер оқылған (ол кезде олардың 4 беті болатын), теледидар мен телефон әлі ойлап табылған жоқ, футбол матчтары жоқ. Шалшықтардағы зерігу. Мұндай жағдайда адамдар өздері үшін ойын-сауық ойлап тапты. Бүгін бізде қашықтан басқару пультін басқаннан кейін олар бар ...

Шегіну 2. Математика мұғалімдері қауымдастығының 2019 жылғы отырысында испандық профессор тұтас қабырғаларды кез келген түске бояй алатын компьютерлік бағдарламаны көрсетті. Бұл аздап қорқынышты болды, өйткені олар тек қолдарын тартты, денені кесіп тастады. Мен іштей ойладым: мұндай «көлеңкеден» қаншалықты рахат алуға болады? Барлығы екі минутқа созылады, ал төртінші минутта біз ештеңе есімізде жоқ. Бұл арада көне «қолөнер» тыныштандырады және тәрбиелейді. Кім сенбейді, сынап көрсін.

ХNUMX ғасырға және біздің шындыққа оралайық. Егер біз шарларды қиын желімдеу түріндегі релаксацияны қаламасақ, онда біз кем дегенде төрт шары бар икосаэдрдің торын саламыз. Бұны қалай істейді? Дұрыстап кесіңіз 6-сурет. Мұқият оқырман мәселені қазірдің өзінде болжайды:

7 тапсырмасы. Шарларды 0-ден 9-ға дейінгі сандармен санауға болады ма, осылайша барлық осы сандар осындай икосаэдрдің әрбір бетінде пайда болады?

Бізге не үшін төленеді?

Бүгінде біз өз қызметіміздің мақсаты туралы сұрақты жиі қоямыз, ал «сұр салық төлеуші» неге мұндай жұмбақтарды шешу үшін математиктерге ақша төлеу керек?

Жауап өте қарапайым. Мұндай «басқажұмбақ» өз алдына қызықты, «бұрынғырақ бір нәрсенің үзіндісі». Өйткені, әскери шерулер қиын қызметтің сыртқы, әсерлі бөлігі ғана. Мен бір ғана мысал келтірейін, бірақ мен оғаш, бірақ халықаралық мойындалған математика пәнінен бастайын. 1852 жылы ағылшын студенті өз профессорынан көрші елдер әрқашан әртүрлі түстермен көрсетілу үшін картаны төрт түсті бояуға бола ма деп сұрады. Біз АҚШ-тағы Вайоминг және Юта штаттары сияқты бір жерде кездесетіндерді «көршілер» деп санамайтынымызды қосамын. Профессор білмеді... және мәселе жүз жылдан астам уақыт бойы шешімін күтті.

8. РЕКО блоктарынан икосаэдр. Жарқыл шағылыстырғыштар икосаэдрдің үшбұрыш пен бесбұрышқа қандай ортақ екенін көрсетеді. Әрбір шыңында бес үшбұрыш біріктіріледі.

Бұл күтпеген жағдайда болды. 1976 жылы американдық математиктер тобы бұл мәселені шешу үшін бағдарлама жазды (және олар шешті: иә, төрт түс әрқашан жеткілікті болады). Бұл «математикалық машинаның» көмегімен алынған математикалық фактінің алғашқы дәлелі болды - компьютер жарты ғасыр бұрын (және одан да ертерек: «электрондық ми») деп аталды.

Мұнда арнайы көрсетілген «Еуропа картасы» (інжір. 9). Ортақ шекарасы бар елдер бір-бірімен байланысты. Картаны бояу осы графиктің шеңберлерін (график деп аталады) бояумен бірдей, сондықтан ешбір байланысқан шеңберлер бірдей түсте болмайды. Лихтенштейн, Бельгия, Франция және Германияға қарасақ, үш түстің жеткіліксіз екенін көрсетеді. Қаласаң, оқырман, төрт түспен боя.

9. Еуропада кім кіммен шектеседі?

Иә, иә, бірақ бұл салық төлеушілердің ақшасына тұрарлық па? Ендеше сол графикті сәл басқаша қарастырайық. Мемлекеттер мен шекаралар бар екенін ұмытыңыз. Шеңберлер бір нүктеден екінші нүктеге (мысалы, P-ден EST-ке дейін) жіберілетін ақпараттық пакеттерді, ал сегменттер мүмкін болатын қосылымдарды көрсетсін, олардың әрқайсысының өткізу қабілеті бар. Мүмкіндігінше тезірек жіберу керек пе?

Біріншіден, математикалық тұрғыдан өте жеңілдетілген, бірақ сонымен бірге өте қызықты жағдайды қарастырайық. Бірдей өткізу қабілеттілігі бар қосылым желісін пайдаланып S нүктесінен (= бастау ретінде) M нүктесіне (= аяқтау) бірдеңені жіберуіміз керек, айталық 1. Мұны біз мына жерден көреміз. інжір. 10.

10. Statsyika Zdrój-дан Мегаполиске дейінгі қосылымдар желісі.

S-дан M-ге шамамен 89 бит ақпарат жіберу керек деп елестетіп көрейік. Бұл сөздердің авторы пойыздарға қатысты мәселелерді ұнатады, сондықтан ол өзін Стаси Здройда менеджермін деп елестетеді, ол жерден 144 вагон жіберуі керек. мегаполис станциясына. Неліктен дәл 144? Өйткені, біз көретініміздей, бұл бүкіл желінің өткізу қабілетін есептеу үшін пайдаланылады. Сыйымдылығы әр лотта 1, яғни. уақыт бірлігінде бір автомобиль өте алады (бір ақпараттық бит, мүмкін Гигабайт).

М-де барлық машиналар бір уақытта кездесетініне көз жеткізейік. Барлығы 89 уақыт бірлігінде жетеді. Егер менде S-дан M-ге дейін жіберу үшін өте маңызды ақпарат пакеті болса, мен оны 144 бірліктен тұратын топтарға бөліп, жоғарыдағыдай итеремін. Математика бұл ең жылдам болатынына кепілдік береді. Саған 89 керек екенін қайдан білдім? Мен шын мәнінде болжадым, бірақ егер мен болжамасам, оны анықтауға тура келеді Кирхгоф теңдеулері (ешкім есінде ме? - бұл ток ағынын сипаттайтын теңдеулер). Желінің өткізу қабілеті 184/89, бұл шамамен 1,62-ге тең.

Қуаныш туралы

Айтпақшы, маған 144 нөмірі ұнайды. Маған осы нөмірмен Варшавадағы сарай алаңына дейін - оның жанында қалпына келтірілген Король сарайы болмаған кезде автобуспен жүру ұнады. Мүмкін, жас оқырмандар ондықтың не екенін біледі. Бұл 12 көшірме, бірақ тек егде жастағы оқырмандар ондаған ондағанын есте сақтайды, яғни. 122=144, бұл лот деп аталатын нәрсе. Ал математиканы мектеп бағдарламасынан сәл артық білетін адам мұны бірден түсінеді інжір. 10 бізде Фибоначчи нөмірлері бар және желінің өткізу қабілеті «алтын санға» жақын.

Фибоначчи тізбегінде 144 - тамаша шаршы болатын жалғыз сан. Жүз қырық төрт деген де «қуанышты сан». Осылайша үнділік әуесқой математик Даттатрея Рамачандра Капрекар 1955 жылы құраушы цифрларының қосындысына бөлінетін сандарды атады:

Егер ол білсе Адам Мискавидж, ол, әрине, Дзядыда жоқ деп жазар еді: «Бөтен анадан; оның қаны - оның ескі батырлары / Ал оның аты қырық төрт, тек одан да талғампаз: Ал оның аты жүз қырық төрт.

Көңіл көтеруді байыппен қабылдаңыз

Мен оқырмандарды судоку басқатырғыштары маңызды сұрақтардың қызықты жағы екеніне сендірдім деп үміттенемін. Мен бұл тақырыпты ары қарай дамыта алмаймын. О, берілген диаграммадан желі өткізу қабілеттілігін толық есептеу інжір. 9 теңдеулер жүйесін жазу екі немесе одан да көп сағатты алады - мүмкін, тіпті ондаған секунд (!) компьютер жұмысы.