Шифрлар мен шпиондар

Бүгінгі математика бұрышында мен Ұлттық балалар қорының балаларға арналған жыл сайынғы ғылыми лагерінде талқылаған тақырыпты қарастырамын. Қор ғылыми қызығушылықтары бар балалар мен жастарды іздейді. Сізге өте дарынды болудың қажеті жоқ, бірақ сізде «ғылыми жол» болуы керек. Мектепте өте жақсы баға талап етілмейді. Байқап көріңіз, сізге ұнауы мүмкін. Егер сіз бастауыш сынып немесе орта мектеп оқушысы болсаңыз, өтініш беріңіз. Әдетте есептерді ата-аналар немесе мектеп жасайды, бірақ бұл әрдайым бола бермейді. Қордың веб-сайтын тауып, біліңіз.

Мектепте бұрын «бағдарламалау» деп аталатын әрекетке сілтеме жасайтын «кодтау» туралы көбірек айтылуда. Бұл теориялық педагогтар үшін ортақ процедура. Олар ескі әдістерді қазып алады, оларға жаңа атау береді және «прогресс» өздігінен жасалады. Мұндай циклдік құбылыс орын алатын бірнеше аймақтар бар.

Дидактиканың қадірін кетіремін деген қорытынды жасауға болады. Жоқ. Өркениеттің дамуында біз кейде бұрын болған, тастап кеткен және қазір қайта жаңғырып жатқанға қайта ораламыз. Бірақ біздің бұрыш философиялық емес, математикалық.

Белгілі бір қауымға жату «ортақ таңбалар», ортақ оқулар, нақыл сөздер мен нақылдарды білдіреді. Поляк тілін жетік меңгерген «Шебржешенде үлкен қоңыз бар, қамыста қоңыз ызылдап жүр» деп, тоқылдақ не істеп жатыр деген сұраққа жауап бермесе, бірден шет мемлекеттің тыңшысы ретінде әшкереленеді. Әрине, ол тұншығып жатыр!

Бұл жай ғана әзіл емес. 1944 жылы желтоқсанда немістер үлкен шығынға Арденнадағы соңғы шабуылын бастады. Олар одақтас әскерлердің қозғалысын бұзу үшін, мысалы, оларды жол қиылысында дұрыс емес бағытта жүргізу үшін, ағылшын тілінде еркін сөйлейтін сарбаздарды жұмылдырды. Біраз уақыттан кейін американдықтар сарбаздарға күдікті сұрақтар қоя бастады, олардың жауаптары Техас, Небраска немесе Джорджиядан келген адамға түсінікті және онда өспеген адам үшін түсініксіз. Шындықты білмеу тікелей өлімге әкелді.

Нүктеге. Оқырмандарға Лукаш Бадовски мен Заслав Адамашектің «Үстелдегі тартпадағы зертхана – математика» кітабын ұсынамын. Бұл математиканың бірдеңе үшін шынымен пайдалы екенін және «математикалық эксперимент» бос сөз емес екенін тамаша көрсететін тамаша кітап. Оған, басқа нәрселермен қатар, «картон жұмбағы» сипатталған конструкциясы кіреді - оны жасауға бар-жоғы он бес минут қажет және күрделі шифрлау машинасы сияқты жұмыс істейтін құрылғы. Идеяның өзі белгілі болғаны сонша, аталған авторлар оны әдемі өңдеген, мен оны сәл өзгертіп, математикалық киіммен орап аламын.

аралар

Варшава маңындағы саяжай ауылымның көшелерінің бірінде жуырда тротуар «трлинкадан» - алтыбұрышты тротуар тақталарынан бөлшектелді. Жол жүру ыңғайсыз болды, бірақ математиктің жаны қуанды. Ұшақты дұрыс (яғни қалыпты) көпбұрыштармен жабу оңай емес. Ол тек үшбұрыштар, шаршылар және тұрақты алтыбұрыштар болуы мүмкін.

Осы рухани қуанышпен аздап қалжыңдаған шығармын, бірақ алтыбұрыш әдемі фигура. Одан сіз өте сәтті шифрлау құрылғысын жасай аласыз. Геометрия көмектеседі. Алтыбұрыштың айналу симметриясы бар - ол 60 градусқа еселенген бұралған кезде қабаттасады. Өріс, мысалы, жоғарғы сол жақта A әрпімен белгіленген інжір. 1 осы бұрыштан өткеннен кейін ол А қорапшасына түседі - және басқа әріптермен де солай. Ендеше тордан алты шаршы қиып алайық, олардың әрқайсысында әртүрлі әріптер бар. Осы жолмен алынған торды қағаз парағына қойдық. Бос алты өріске біз шифрлағымыз келетін мәтіннің алты әрпін енгізіңіз. Парақты 60 градусқа бұрайық. Алты жаңа өріс пайда болады - хабарламамыздың келесі алты әріпін енгізіңіз.

Күріш. 1. Математика қуанышының сілтемелері.

Оң інжір. 1 Бізде мынадай кодталған мәтін бар: «Станцияда үлкен ауыр паровоз бар».

Енді кішкене мектеп математикасы пайдалы болады. Екі санды бір-біріне қатысты неше тәсілмен орналастыруға болады?

Қандай ақымақ сұрақ? Екеуі үшін: біреуі алдында немесе екіншісінде.

Жақсы. Ал үш сан?

Сондай-ақ барлық параметрлерді тізімдеу қиын емес:

123, 132, 213, 231, 312, 321.

Ал, бұл төртке арналған! Оны әлі де анық жазуға болады. Мен қойған тәртіп ережесін тап:

1234, 1243, 1423, 4123, 1324, 1342,

1432, 4132, 2134, 2143, 2413, 4213,

2314, 2341, 2431, 4231, 3124, 3142,

3412, 4312, 3214, 3241, 3421, 4321

Цифрлар бес болғанда, біз 120 мүмкін параметрді аламыз. Оларды шақырайық ауыстырулар. n санның мүмкін болатын ауыстыру саны 1 2 3 ... n көбейтіндісі деп аталады күшті және леп белгісімен белгіленеді: 3!=6, 4!=24, 5!=120. Келесі 6 саны үшін бізде 6!=720 болады. Біз мұны алтыбұрышты шифрлық қалқанды күрделірек ету үшін қолданамыз.

Біз 0-ден 5-ке дейінгі сандарды ауыстыруды таңдаймыз, мысалы 351042. Біздің алтыбұрышты шифрлау дискінің ортаңғы өрісінде сызықша бар - оны «нөлдік күйге» қоюға болатындай - суреттегідей жоғары сызықша. 1. Дискіні осылайша өз есебімізді жазуымыз керек қағаз парағына қойдық, бірақ біз оны бірден жазбаймыз, оны үш рет 60 градусқа (яғни 180 градусқа) айналдырып, алты әріпті енгіземіз. бос өрістер. Біз бастапқы позицияға ораламыз. Біз циферблатты бес рет 60 градусқа, яғни циферблатымыздың бес «тісіне» айналдырамыз. Біз басып шығарамыз. Келесі масштаб позициясы нөлдің айналасында 60 градусқа бұрылған позиция болып табылады. Төртінші позиция - 0 градус, бұл бастапқы ұстаным.

Не болғанын түсінесің бе? Бізде қосымша мүмкіндік бар - «машинамызды» жеті жүз еседен астам қиындату! Сонымен, бізде «автоматтың» екі тәуелсіз позициясы бар - торды таңдау және ауыстыруды таңдау. Торды 66 = 46656 жолмен таңдауға болады, ауыстыру 720. Бұл 33592320 мүмкіндік береді. 33 миллионнан астам шифрлар! Сәл дерлік аз, өйткені кейбір торларды қағаздан қиып алу мүмкін емес.

Төменгі бөлігінде інжір. 1 Бізде мынадай кодталған хабарлама бар: «Мен сізге төрт парашют дивизиясын жіберемін». Бұл туралы жаудың білуіне жол бермеу керектігін түсіну оңай. Бірақ ол мұның кез келгенін түсіне ме:

ТПОРОПВМАНВЕОРДИЗЗ

ААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААаааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааа

тіпті 351042 қолтаңбасы бар ма?

Біз Enigma, неміс шифрлау машинасын жасап жатырмыз

Күріш. 2. Біздің шифрлау машинасын бастапқы орнатудың мысалы.

Пермутациялар (AF) (BJ) (CL) (DW) (EI) (GT) (HO) (KS) (MX) (NU) (PZ) (RY).

Жоғарыда айтып өткенімдей, мен осындай картон машинасын жасау идеясына «Сыртпадағы зертхана - математика» кітабына қарыздармын. Менің «құрылысым» оның авторлары бергеннен біршама ерекшеленеді.

Соғыс кезінде немістер пайдаланған шифрлау машинасы біз алтыбұрышты шифрмен көргенге ұқсас, өте қарапайым принципке ие болды. Әр жолы бірдей нәрсе: әріпті басқа әріпке қатаң тапсыру. Ол ауыстырылатын болуы керек. Оны бақылау үшін оны қалай істеу керек?

Кез келген ауыстыруды емес, ұзындығы 2 циклі бар біреуін таңдайық. Қарапайым сөзбен айтқанда, бірнеше ай бұрын осы жерде сипатталған, бірақ әліпбидің барлық әріптерін қамтитын «Гадериполук» сияқты нәрсе. 24 әріпке келістік - ą, ę, ć, ó, ń, ś, ó, ż, ź, v, q жоқ. Мұндай ауыстырулар қанша? Бұл мектеп түлектерінің міндеті (олар оны бірден шешуі керек). Неше? Көптеген? Бірнеше мың? Иә:

1912098225024001185793365052108800000000 (осы санды оқуға тырыспайық). «Нөл» позициясын орнатудың көптеген мүмкіндіктері бар. Және бұл қиын болуы мүмкін.

Біздің машина екі дөңгелек дискіден тұрады. Әлі күнге дейін тұрған біреуіне хаттар жазылған. Бұл ескі телефонның теруіне ұқсайды, онда сіз нөмірді теруді соңына дейін айналдыра аласыз. Ротари - түс схемасы бар екінші. Ең оңай жолы - түйреуіш арқылы оларды кәдімгі тығынға қою. Тығынның орнына жұқа тақтаны немесе қалың картонды қолдануға болады. Лукаш Бадовски мен Заслав Адамашек екі дискіні де CD қорабына салуды ұсынады.

Елестетіп көріңізші, біз ARMATY сөзін кодтағымыз келеді (Күріш. 2 және 3). Құрылғыны нөлдік күйге қойыңыз (жоғары көрсеткі). А әрпі F әрпіне сәйкес келеді. Ішкі тізбекті бір әріп оңға бұрыңыз. Бізде кодтау үшін R әрпі бар, енді ол А-ға сәйкес келеді. Келесі айналдырудан кейін біз M әрпінің U-ге сәйкес келетінін көреміз. Келесі айналдыру (төртінші диаграмма) A - P сәйкестігін береді. Бесінші теруде бізде T бар. - А. Соңында (алтыншы шеңбер ) Y – Y Жау біздің CFCFA-ның ол үшін қауіпті болатынын болжамайтын шығар. Ал «біздікілер» жіберуді қалай оқиды? Оларда бірдей машина, бірдей «бағдарламаланған», яғни бірдей ауыстыру болуы керек. Шифр нөлден басталады. Сонымен, F мәні A. Дөңгелекті сағат тілімен бұраңыз. А әрпі енді R әрпімен байланысты. Ол циферблатты оңға бұрады да, U әрпінің астынан М тауып алады, т.б.. Шифрлаушы генералға жүгіріп барады: «Генерал, мен хабарлап жатырмын, мылтық келе жатыр!»

Күріш. 3. Enigma қағазының жұмыс істеу принципі.

Күріш. 3. Enigma қағазының жұмыс істеу принципі.

Тіпті мұндай қарабайыр Жұмбақтардың мүмкіндіктері таң қалдырады. Біз басқа шығыс ауыстыруларды таңдай аламыз. Біз жасай аламыз - және бұл жерде одан да көп мүмкіндіктер бар - үнемі бір «серифпен» емес, алтыбұрышқа ұқсас белгілі, күнделікті өзгеретін тәртіпте (мысалы, алдымен үш әріп, содан кейін жеті, содан кейін сегіз, төрт ... .. т.б. .).

Қалай болжауға болады?! Ал поляк математиктері үшін (Мариан Реевски, Генрик Зигалски, Ежи Рузицки) болды. Осылайша алынған ақпарат баға жетпес құнды болды. Бұрын олар біздің қорғаныс тарихына бірдей маңызды үлес қосты. Вацлав Серпинский i Станислав Мазуркевич1920 жылы орыс әскерлерінің кодексін бұзған. Ұсталған кабель Пилсудскиге Вепс өзенінен әйгілі маневр жасауға мүмкіндік берді.

Васлав Сиерпинский (1882-1969) есімде. Ол үшін сыртқы әлем жоқ математик сияқты көрінді. Ол 1920 жылғы жеңіске қатысқаны туралы әскери және ... саяси себептермен де айта алмады (Польша Халық Республикасының билігі бізді Кеңес Одағынан қорғағандарды ұнатпады).

Күріш. 4. Орын ауыстыру (AP) (BF) (CM) (DS) (EW) (GY) (HK) (IU) (JX) (LZ) (NR) (OT).

Күріш. 5. Әдемі безендіру, бірақ шифрлау үшін жарамсыз. Тым тұрақты.

1 тапсырмасы. Na інжір. 4 Сізде Enigma жасау үшін басқа ауыстыру бар. Сызбаны ксерографқа көшіріңіз. Көлік жасаңыз, аты-жөніңізді кодтаңыз. Менің CWONUE JTRYGT. Жазбаларды құпия сақтау қажет болса, Cardboard Enigma пайдаланыңыз.

2 тапсырмасы. Өзіңіз көрген «көліктердің» біреуінің аты-жөнін шифрлаңыз, бірақ (назар аударыңыз!) қосымша күрделілікпен: біз бір ойықты оңға емес, {1, 2, 3, 2, 1 схемасы бойынша бұрамыз, 2, 3, 2, 1, ....} - яғни алдымен бір, содан кейін екі, содан кейін үш, содан кейін 2, содан кейін қайтадан 1, содан кейін 2 және т.б., мұндай «толқын» . Менің атым мен тегім CZTTAK SDBITH ретінде шифрланғанын тексеріңіз. Енді Enigma машинасының қаншалықты қуатты болғанын түсінесіз бе?

Орта мектеп түлектеріне арналған есептерді шешу. Enigma үшін қанша конфигурация опциясы бар (бұл нұсқада мақалада сипатталғандай)? Бізде 24 әріп бар. Біз әріптердің бірінші жұбын таңдаймыз - мұны істеуге болады

жолдары. Келесі жұпты таңдауға болады

жолдары, тағы басқа

және т.б. Сәйкес есептеулерден кейін (барлық сандарды көбейту керек), біз аламыз

151476660579404160000

Содан кейін бұл санды 12-ге бөліңіз! (12 факторлық), өйткені бірдей жұптарды басқа ретпен алуға болады. Соңында біз «жалпы» аламыз

316234143225,

бұл 300 миллиардтан сәл асады, бұл бүгінгі суперкомпьютерлер үшін таңқаларлық үлкен сан емес сияқты. Алайда, егер ауыстырулардың кездейсоқ реті ескерілсе, бұл сан айтарлықтай артады. Сондай-ақ біз ауыстырудың басқа түрлері туралы ойлай аламыз.

Сондай-ақ, қараңыз: