Математиканың шынайы емес әлеміне саяхат

Мен бұл мақаланы орталардың бірінде, информатика колледжінде лекция мен тәжірибеден кейін жаздым. Осы мектеп оқушыларының сынынан, олардың біліміне, ғылымға деген көзқарасына, ең бастысы ұстаздық шеберлігіне өзімді қорғаймын. Бұл... оларға ешкім үйретпейді.

Мен неге сонша қорғанамын? Қарапайым себеппен - мен, бәлкім, бізді қоршаған әлем әлі түсінілмейтін жастамын. Бәлкім, мен оларға көлік айдауды емес, ат әбзелдерін тігуді, еріктіруді үйретіп жатқан шығармын? Мүмкін мен оларға қаламсаппен жазуды үйрететін шығармын? Мен адам туралы жақсырақ пікірде болсам да, мен өзімді «ізбасармын» деп санаймын, бірақ…

Соңғы уақытқа дейін олар орта мектепте күрделі сандар туралы сөйлесетін. Дәл осы сәрсенбіде мен үйге келдім, оқуды тастадым - студенттердің ешқайсысы оның не екенін және бұл сандарды қалай пайдалану керектігін әлі білмеді. Кейбіреулер барлық математикаға боялған есіктегі қаз сияқты қарайды. Бірақ олар маған қалай үйренуге болатынын айтқан кезде мен шынымен таң қалдым. Қарапайым тілмен айтқанда, дәрістің әр сағаты екі сағаттық үй тапсырмасын құрайды: оқулықты оқу, берілген тақырып бойынша есептерді шығаруды үйрену және т.б. Осылай дайындалып, біз жаттығуларға келдік, онда біз бәрін жетілдіреміз ... Студенттер, шамасы, лекцияда отыру - көбінесе терезеге қарау - білімнің бастың енуіне кепілдік береді деп ойлады.

Тоқта! Жетер. Еліміздің түкпір-түкпірінен келген дарынды балаларды қолдайтын Ұлттық балалар қорының стипендиаттарымен сабақ барысында алған сұрағыма жауабымды баяндаймын. Сұрақ (дәлірек айтқанда ұсыныс) болды:

— Бізге нақты емес сандар туралы бірдеңе айта аласыз ба?

«Әрине», - деп жауап бердім. 

Сандардың шындығы

Пифагор: «Дос – басқа мен, достық – 220 мен 284 сандарының қатынасы», – дейді. Мұндағы мәселе 220 санының бөлгіштерінің қосындысы 284, ал 284 санының бөлгіштерінің қосындысы 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284. Айтпақшы, інжілдегі Жақып достық белгісі ретінде Есауға 220 қой мен қошқар бергенін байқаймыз (Жаратылыс 32:14). ).

220 және 284 сандарының тағы бір қызықты сәйкестігі мынада: он жеті ең үлкен жай сандар 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, және 59.

Олардың қосындысы 2х220, ал квадраттарының қосындысы 59х284.

Бірінші. «Нақты сан» деген ұғым жоқ. Пілдер туралы мақаланы оқығаннан кейін «енді піл еместерді сұраймыз» деп сұрайтын сияқтысыз. Тұтас және бүтін емес, рационалды және иррационалдық бар, бірақ шындыққа жатпайтындар жоқ. Атап айтқанда: нақты емес сандар жарамсыз деп аталмайды. Математикада «сандардың» көптеген түрлері бар және олар бір-бірінен ерекшеленеді, мысалы, зоологиялық салыстыру - піл мен жауын құрты.

Екіншіден, біз сізге тыйым салынған әрекеттерді орындаймыз: теріс сандардың квадрат түбірлерін шығару. Ал, математика мұндай кедергілерді еңсереді. Бұл мағынасы бар ма? Кез келген басқа ғылымдағы сияқты математикада да теорияның білім қоймасына мәңгілік енуі... оның қолданылуына байланысты. Егер ол пайдасыз болса, ол қоқыс жәшігіне, содан кейін білім тарихының кейбір қоқыстарына түседі. Осы мақаланың соңында мен айтатын сандарсыз математиканы дамыту мүмкін емес. Бірақ кішкене нәрселерден бастайық. Нақты сандар дегеніміз не, сіз білесіз. Олар сан жолын тығыз және бос орынсыз толтырады. Сондай-ақ, сіз натурал сандар қандай екенін білесіз: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. – олардың барлығы сыймайды. тіпті ең керемет есте сақтау. Олардың да әдемі атауы бар: табиғи. Олардың көптеген қызықты қасиеттері бар. Сізге бұл қалай ұнайды:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

Карл Линденхолм: «Натурал сандарға қызығушылық таныту табиғи нәрсе», - деді және Леопольд Кронеккер (1823–1891) бұл туралы қысқаша тұжырымдады: «Құдай натурал сандарды жаратты, қалғанының бәрі адамның жұмысы!» Бөлшектердің (математиктер рационал сандар деп атайды) таңғажайып қасиеттері де бар:

және теңдікте:

сіз сол жақтан бастап, плюстерді ысқылап, оларды көбейту белгілерімен ауыстыра аласыз - және теңдік дұрыс қалады:

Тағыда басқа.

Өздеріңіз білетіндей, a/b бөлшектері үшін, мұндағы a және b бүтін сандар және b ≠ 0, олар айтады. рационал сан. Бірақ тек поляк тілінде олар өздерін осылай атайды. Олар ағылшын, француз, неміс және орыс тілінде сөйлейді. рационал сан. Ағылшын тілінде: рационал сандар. Иррационал сандар бұл қисынсыз, қисынсыз. Біз сондай-ақ иррационалды теориялар, идеялар мен істер туралы поляк тілінде сөйлейміз - бұл ақылсыздық, ойдан шығарылған, түсініксіз. Әйелдер тышқаннан қорқады дейді – бұл соншалықты қисынсыз емес пе?

Ертеде сандардың жаны болған. Әрқайсысы бір нәрсені білдіреді, әрқайсысы бір нәрсені білдіреді, әрқайсысы Ғаламның сол гармониясының бір бөлігін, яғни грекше, Космосты бейнеледі. «Ғарыш» сөзінің өзі дәл «тәртіп, тәртіп» дегенді білдіреді. Ең маңыздылары алты (мінсіз сан) және он болды, 1+2+3+4 қатарлы сандардың қосындысы басқа сандардан құралған, символизмі бүгінгі күнге дейін сақталған. Сондықтан Пифагор сандар барлық нәрсенің басы мен көзі, тек жаңалық ашу деп үйретті иррационал сандар Пифагор қозғалысын геометрияға бұрды. Мұның себебін біз мектептен білеміз

√2 – иррационал сан

Айталық, бар: және бұл бөлшекті азайтуға болмайды. Атап айтқанда, p және q екеуі де тақ. Шаршы алайық: 2q²=p². p саны тақ болуы мүмкін емес, содан бері p² да болар еді, ал теңдіктің сол жағы 2-ге еселік. Демек, p жұп, яғни p = 2r, демек p.²= 4r². 2q теңдеуін азайтамыз²= 4r² 2 бойынша. Біз q аламыз²= 2r² және біз q да жұп болуы керек екенін көреміз, олай емес деп есептедік. Алынған қайшылық дәлелдеуді аяқтайды - бұл формуланы әр математикалық кітапта жиі кездестіруге болады. Бұл жанама дәлел - софистердің сүйікті айласы.

Бұл шексіздікті пифагоршылар түсіне алмады. Барлығын сандармен сипаттау керек және кез келген адам таяқшамен құмның үстінен сыза алатын шаршының диагоналында ұзындығы жоқ, яғни өлшеуге болады. «Біздің сеніміміз бекер болды», - дейді пифагорлықтар. Қалайша? Бұл... қисынсыз. Одақ секталық әдістермен өзін құтқаруға тырысты. Олардың бар екенін ашуға батылы бар кез келген адам иррационал сандар, өлім жазасына кесілуі керек болды және, шамасы, бірінші үкімді қожайынның өзі орындады.

Бірақ, «ойдан аман-есен өтті». Алтын ғасыр келді. Гректер парсыларды жеңді (Марафон 490, блок 479). Демократия нығайып, жаңа философиялық ой орталықтары, жаңа мектептер пайда болды. Пифагорлықтар әлі де иррационал сандармен күресті. Кейбіреулер уағыздады: біз бұл құпияны түсінбейміз; біз тек Uncharted туралы ойланып, таңдана аламыз. Соңғылары прагматикалық болды және Құпияны құрметтемеді. Сол кезде иррационал сандарды түсінуге мүмкіндік беретін екі психикалық конструкция пайда болды. Оларды бүгінгі күні жеткілікті түрде түсінетініміз Евдоксқа (б.з.б. XNUMX ғ.) тиесілі, ал неміс математигі Рихард Дедекинд XNUMX ғасырдың аяғында ғана Евдокс теориясына қатаң талаптарға сай дұрыс дамуды берді. математикалық логика.

Фигуралар массасы немесе азаптау

Сіз сандарсыз өмір сүре аласыз ба? Тіпті өмір қандай болар еді... Бұрын аяқтың ұзындығын өлшеп алған таяқпен аяқ киім алу үшін дүкенге баруымыз керек еді. «Мен алма алғым келеді, мінекей!» – Біз базардағы сатушыларды көрсететін едік. «Модлин қаласынан Нови-Двур-Мазовецки» қаншалықты алыс? «Жақын!»

Сандар өлшеу үшін қолданылады. Олардың көмегімен біз басқа да көптеген ұғымдарды білдіреміз. Мысалы, картаның масштабы ел аумағының қаншалықты қысқарғанын көрсетеді. Екі-бір шкала немесе жай 2, бір нәрсенің екі еселенгенін білдіреді. Математикалық түрде айтайық: әрбір біртектілік санға - оның масштабына сәйкес келеді.

Тапсырма. Кескінді бірнеше рет үлкейте отырып, ксерографиялық көшірме жасадық. Содан кейін үлкейтілген фрагмент қайтадан b есе үлкейтілді. Жалпы үлкейту шкаласы дегеніміз не? Жауабы: a × b көбейтіндісі b. Бұл таразыларды көбейту керек. «Минус бір» саны, -1, орталықта орналасқан, яғни 180 градусқа бұрылған бір дәлдікке сәйкес келеді. 90 градусқа бұрылысқа қандай сан сәйкес келеді? Ондай нөмір жоқ. Дәл солай, дәлірек айтсақ, жақында болады. Сіз моральдық азаптауға дайынсыз ба? Батыл болыңыз және минус бірдің квадрат түбірін алыңыз. Мен тыңдап тұрмын? Сіз не істей алмайсыз? Өйткені мен саған батыл бол дедім ғой. Оны шығарыңыз! Эй, жарайды, тарт, тарт... Мен көмектесемін... Міне: -1 Енді бізде бар, оны қолданып көрейік... Әрине, енді барлық теріс сандардың түбірін шығарып аламыз, мысал.:

√-4 = 2√-1, √-16 = 4√-1

«Ол тудыратын психикалық азапқа қарамастан». Жироламо Кардано 1539 жылы осылай деп жазды, ол көп ұзамай осылай аталды - байланысты психикалық қиындықтарды жеңуге тырысады. ойша шамалар. Ол осыларды қарастырды ...

...Тапсырма. 10-ды екіге бөл, көбейтіндісі 40. Есімде, алдыңғы бөлімнен ол былай деп жазды: Әрине мүмкін емес. Дегенмен, осылай жасайық: 10-ды әрқайсысы 5-ке тең екі тең бөлікке бөліңіз. Оларды көбейтіңіз - 25 болды. Алынған 25-тен енді 40-ты азайтыңыз, егер қаласаңыз, сіз -15 аласыз. Енді қараңыз: 15-тен √-5 қосылып, кемітілгенде 40-тың көбейтіндісі шығады. Бұл 5-√-15 және 5 + √-15 сандары. Нәтижені тексеруді Кардано келесідей жүргізді:

«Жүрек ауыратынына қарамастан, 5 + √-15 санын 5-√-15-ке көбейтіңіз. Біз 25 - (-15) аламыз, ол 25 + 15-ке тең. Демек, көбейтінді 40 .... Бұл шынымен қиын».

Ал, қанша: (1 + √-1) (1-√-1)? Көбейтейік. √-1 × √-1 = -1 екенін есте сақтаңыз. Тамаша. Енді қиынырақ тапсырма: a + b√-1-ден ab√-1-ге дейін. Не болды? Әрине, бұл сияқты: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

Мұның несі қызық? Мысалы, біз «бұрын білмейтін» өрнектерді көбейткіштерге бөлуге болатындығы. үшін қысқартылған көбейту формуласы²-b² Формула есіңізде ме?²+b² олай емес еді, өйткені болуы мүмкін емес еді. Нақты сандар облысындағы көпмүшелік²+b² бұл сөзсіз. «минус бірдің» «біздің» квадрат түбірін и әрпімен белгілейік.²= -1. Бұл «нақты емес» жай сан. Бұл ұшақтың 90 градусқа бұрылуын сипаттайтын нәрсе. Неліктен? Қалай болғанда да,²= -1 және бір 90 градустық айналуды және басқа 180 градусты айналдыруды біріктіру 45 градустық айналуды береді. Айналудың қандай түрі сипатталған? XNUMX градусқа бұрылатыны анық. -i нені білдіреді? Бұл сәл күрделірек:

(-Мен)² = -i × (-i) = + i² = -1

Сонымен -i 90 градустық айналуды сипаттайды, i айналуына қарама-қарсы бағытта. Қайсысы сол, қайсысы оң? Сіз кездесуге жазылуыңыз керек. Біз i саны математиктер оң деп санайтын бағытта айналуды көрсетеді деп есептейміз: сағат тіліне қарсы. -i саны көрсеткіштер қозғалатын бағытта айналуды сипаттайды.

Бірақ i және -i сияқты сандар бар ма? Бар! Біз оларды өмірге әкелдік. Мен тыңдап тұрмын? Олар тек біздің басымызда бар ма? Ал, не күту керек? Барлық басқа сандар да біздің санамызда ғана бар. Біз жаңа туған нәрестелеріміздің аман қалуын білуіміз керек. Дәлірек айтқанда, дизайн қисынды ма және олар бір нәрсеге пайдалы бола ма. Менің сөзімді қабылдаңыз, бәрі тәртіппен және бұл жаңа нөмірлер шынымен де пайдалы. 3+i, 5-7i, жалпы алғанда: a+bi сияқты сандар күрделі сандар деп аталады. Мен сізге ұшақты айналдыру арқылы оларды қалай алуға болатынын көрсеттім. Оларды әртүрлі жолдармен енгізуге болады: жазықтықтың нүктелері ретінде, кейбір көпмүшелер ретінде, сандық массивтердің кейбір түрі ретінде ... және олар әр уақытта бірдей: x теңдеуі.² +1=0 элемент жоқ... hocus pocus қазірдің өзінде бар!!!! Қуанып, шаттанайық!!!

Экскурсияның соңы

Осымен жалған сандар еліне алғашқы турымыз аяқталды. Басқа жерсіз сандардың ішінде артында емес, алдында шексіз сандары бар сандарды да атап өтемін (олар 10-адик деп аталады, біз үшін p-adic маңыздырақ, мұндағы p - жай сан), үшін мысал X = … … … 96109004106619977392256259918212890625

Өтінемін, X санап көрейік². Қалай? Санның квадратын, одан кейін шексіз сандарды есептесек ше? Ал, біз де солай істейік. Біз x екенін білеміз² = X.

Алдында сандары шексіз болатын, теңдеуді қанағаттандыратын тағы бір осындай санды табайық. Нұсқау: алтымен аяқталатын санның квадраты да алтымен аяқталады. 76-мен аяқталатын санның квадраты да 76-мен аяқталады. 376-мен аяқталатын санның квадраты да 376-мен аяқталады. 9376-мен аяқталатын санның квадраты да 9376-мен аяқталады. XNUMX күні… Сондай-ақ өте кішкентай сандар бар, олар оң болғандықтан, кез келген басқа оң саннан кіші болып қалады. Олар соншалықты кішкентай, кейде нөлге жету үшін оларды квадраттау жеткілікті. a × b = b × a шартын қанағаттандырмайтын сандар бар. Сондай-ақ шексіз сандар бар. Неше натурал сандар бар? Шексіз көп пе? Иә, бірақ қанша? Мұны сан ретінде қалай көрсетуге болады? Жауабы: шексіз сандардың ең кішісі; ол әдемі әріппен белгіленеді: А және нөлдік А индексімен толықтырылады₀ , алеф-нөл.

Сондай-ақ біз білмейтін сандар бар ... немесе сіз қалағаныңызша сенуге немесе сенбеуге болады. Және осыған ұқсас нәрселер туралы айтатын болсақ: Сізге әлі де шынайы емес сандар, фантастикалық түрлердің сандары ұнайды деп үміттенемін.