Күрделі мінез-құлықпен қарапайым модельдер, яғни хаос

Компьютер - ғалымдар табиғаттың мұқият жасырған құпияларын ашу үшін жиі қолданатын құрал. Модельдеу эксперимент және теориямен бірге әлемді зерттеудің үшінші әдісіне айналуда.

Үш жыл бұрын Силезия университетінде біз компьютерлік әдістерді білім беруге біріктіру бағдарламасын бастадық. Нәтижесінде көптеген тақырыптарды оқуды жеңілдетіп, тереңдететін өте қызықты дидактикалық материалдар жасалды. Негізгі құрал ретінде Python таңдалды, ол қол жетімді ғылыми кітапханалардың күшімен бірге теңдеулер, кескіндер немесе деректермен «компьютерлік эксперименттер» үшін ең жақсы шешім болуы мүмкін. Толық жұмыс үстелінің ең қызықты іске асыруларының бірі - Sage [2]. Бұл компьютерлік алгебра жүйесінің Python тілімен ашық интеграциясы, сондай-ақ веб-шолғышты және бұлттық сервис [3] арқылы мүмкін болатын қол жеткізу опцияларының бірін пайдаланып ойнауды бірден бастауға мүмкіндік береді немесе интерактивті компьютерлік сервер арқылы. осы мақаланың нұсқасы [4] негізінде жасалған.

Экологиядағы хаос

Оксфорд университетінде 1 курста австралиялық ғалым Роберт Мэй демографиялық динамиканың теориялық аспектілерін зерттеді. Ол Nature журналында «Өте күрделі динамикасы бар қарапайым математикалық модельдер» [XNUMX] арандатушылық тақырыбымен шыққан мақалада өз жұмысын қорытындылады. Осы жылдар ішінде бұл мақала теориялық экологиядағы ең көп сілтеме жасалған еңбектердің біріне айналды. Бұл жұмысқа мұндай қызығушылық неден туындады?

Популяция динамикасының классикалық мәселесі белгілі бір түрдің қазіргі жағдайын ескере отырып, болашақ популяциясын есептеу болып табылады. Математикалық тұрғыдан экожүйелер халықтың бір буынының өмірі бір маусымға созылатын ең қарапайым деп саналды. Жақсы мысал - көбелектер сияқты бір маусымда толық метаморфозға ұшырайтын жәндіктер популяциясы. Уақыт табиғи түрде халықтың өмірлік циклдеріне сәйкес дискретті кезеңдерге2 бөлінеді. Осылайша, мұндай экожүйені сипаттайтын теңдеулер табиғи түрде деп аталады дискретті уақыт, яғни. t = 1,2,3…. Роберт Мэй басқа нәрселермен қатар осындай динамикамен айналысты. Өзінің пайымдауында ол экожүйені популяциясы өткен жылғы популяцияның квадраттық функциясы болатын бір түрге оңайлатты. Бұл модель қайдан келді?

Популяцияның эволюциясын сипаттайтын қарапайым дискретті теңдеу сызықтық модель болып табылады:

мұндағы Ni - i-ші маусымдағы молшылық, ал Ni + 1 келесі маусымдағы популяцияны сипаттайды. Мұндай теңдеу үш сценарийге әкелетінін байқау қиын емес. a = 1 болғанда, эволюция популяцияның мөлшерін өзгертпейді және <1 жойылуға әкеледі, ал а > 1 жағдайы популяцияның шексіз өсуін білдіреді. Бұл табиғаттағы теңгерімсіздікке әкеледі. Табиғаттағы барлық нәрсе шектеулі болғандықтан, ресурстардың шектеулі мөлшерін есепке алу үшін бұл теңдеуді түзету мағынасы бар. Елестетіп көріңізші, зиянкестер жыл сайын бірдей дәнді жейді. Егер жәндіктер көбейе алатын қорек мөлшерімен салыстырғанда аз болса, олар математикалық түрде a > 1 константасымен анықталатын толық көбею қабілетінде көбейе алады.Бірақ зиянкестердің саны көбейген сайын қорек тапшы болады және көбею қабілеті төмендейді. Қиын жағдайда, көптеген жәндіктер дүниеге келгенін елестетуге болады, олар көбеюге үлгермей тұрып барлық астықты жеп, популяция өледі. Азық-түлікке шектеулі қолжетімділіктің осы әсерін ескеретін модельді 1838 жылы Верхульст алғаш рет ұсынған. Бұл модельде өсу қарқыны тұрақты емес, халықтың жағдайына байланысты:

Өсу қарқыны a мен Ni арасындағы қатынас мынадай қасиетке ие болуы керек: егер популяция көбейсе, өсу қарқыны төмендеуі керек, өйткені азық-түлікке қол жеткізу қиын. Әрине, бұл қасиетке ие көптеген функциялар бар: бұл жоғарыдан төмен функциялар. Верхульст келесі қатынасты ұсынды:

мұндағы a>0 және тұрақты K>0 азық-түлік ресурстарын сипаттайды және қоршаған ортаның сыйымдылығы деп аталады. К өзгерісі халық санының өсу қарқынына қалай әсер етеді? Егер K өссе, Ni/K төмендейді. Өз кезегінде, бұл 1-Ni/K өсетініне әкеледі, яғни ол өседі. Бұл өсу қарқынының артып, халық санының тез өсіп жатқанын білдіреді. Ендеше өсу қарқыны (1) теңдеудегідей өзгереді деп есептей отырып, алдыңғы үлгіні (3) өзгертейік. Содан кейін теңдеуді аламыз

Бұл теңдеуді рекурсивті теңдеу түрінде жазуға болады

мұндағы xi = Ni / K және xi + 1 = Ni + 1 / K i уақытында және i + 1 уақытында қайта масштабталған популяцияларды білдіреді. (5) теңдеу логистикалық теңдеу деп аталады.

Осындай шағын модификациямен біздің модельді талдау оңай болып көрінуі мүмкін. Оны тексеріп көрейік. Бастапқы жиынтық x5 = 0.5 бастап a = 0 параметрі үшін (0.45) теңдеуді қарастырайық. Популяцияның дәйекті мәндерін рекурсивті теңдеудің (5) көмегімен алуға болады:

x₁= балта₀(1-ші₀)

x₂= балта₁(1-ші₁)

x₃= балта₂(1-ші₂)

(6) тармақтағы есептеулерді жеңілдету үшін біз келесі бағдарламаны пайдалана аламыз (ол Python тілінде жазылған және оны басқа нәрселермен қатар Sage платформасында іске қосуға болады. http://icse.us.edu кітабын оқуды ұсынамыз. .pl/e-book .), біздің үлгіге еліктейді:

а = 0.5 x = 0.45 диапазондағы i үшін (10): x \u1d a * x * (XNUMX-x) x басып шығару

Біз xi-ның дәйекті мәндерін есептейміз және олардың нөлге бейім екенін байқаймыз. Жоғарыда келтірілген кодпен тәжірибе жасай отырып, бұл x0 бастапқы мәніне қарамастан ақиқат екенін оңай көруге болады. Бұл халықтың үнемі қырылып жатқанын білдіреді.

Талдаудың екінші кезеңінде а параметрінің мәнін ae (1,3) диапазонындағы кез келген мәнге арттырамыз. Сонда xi тізбегі белгілі бір шамаға х * > 0 дейін барады екен. Бұны экология тұрғысынан түсіндіре отырып, популяция саны маусымнан маусымға өзгермейтін белгілі бір деңгейде бекітілген деп айтуға болады. . Айта кету керек, x * мәні бастапқы x0 күйіне тәуелді емес. Бұл экожүйенің тұрақтандыруға ұмтылуының әсері – популяция өз мөлшерін өзі қоректену мүмкіндігіне қарай реттейді. Математикалық тұрғыдан жүйе тұрақты бекітілген нүктеге ұмтылады деп айтылады, яғни. x = f(x) теңдігін қанағаттандыру (бұл келесі сәттегі күйдің алдыңғы сәттегідей болатынын білдіреді). Sage көмегімен біз уақыт өте келе популяцияны құру арқылы бұл эволюцияны графикалық түрде бейнелей аламыз.

Мұндай тұрақтандыру эффектісін зерттеушілер күткен болатын, ал логистикалық теңдеу (5) күтпеген жағдай болмағанда көп назар аудармас еді. Параметрдің белгілі бір мәндері үшін модель (5) күтпеген түрде әрекет ететіні анықталды. Біріншіден, периодты және көп периодты күйлер бар. Екіншіден, әрбір уақыт қадамымен популяция кездейсоқ қозғалыс сияқты біркелкі емес өзгереді. Үшіншіден, бастапқы жағдайларға үлкен сезімталдық бар: екі дерлік ажыратылмайтын бастапқы күйлер популяцияның мүлдем басқа эволюциясына әкеледі. Бұл белгілердің барлығы мүлдем кездейсоқ қозғалысқа ұқсайтын мінез-құлыққа тән және детерминирленген хаос деп аталады.

Бұл мүлікті зерттеп көрейік!

Алдымен a = 3.2 параметрінің мәнін орнатып, эволюцияны қарастырайық. Бұл жолы популяцияның бір емес, екінші маусым сайын қатарынан болатын екі мәнге жетуі таңқаларлық көрінуі мүмкін. Алайда проблемалар мұнымен бітпейтіні белгілі болды. a = 4 болғанда жүйені болжау мүмкін емес. (2) суретті қарастырайық, әйтпесе біз компьютердің көмегімен өзіміз сандар тізбегін жасаймыз. Нәтижелер таза кездейсоқ және сәл өзгеше бастапқы популяциялар үшін мүлдем басқаша болып көрінеді. Дегенмен, мұқият оқырман қарсы болуы керек. Детерминирленген теңдеу1 арқылы сипатталған жүйе, тіпті өте қарапайым болса да, күтпеген түрде әрекет ете алады? Жақсы, мүмкін.

Бұл жүйенің ерекшелігі оның бастапқы жағдайларға керемет сезімталдығы болып табылады. Миллионнан бір айырмашылығы бар екі бастапқы шарттан бастау жеткілікті, ал бірнеше қадамда біз мүлдем басқа популяция мәндерін аламыз. Компьютерде тексерейік:

a = 4.0

x = 0.123 y = 0.123 + 0.000001 PCC = [] диапазондағы i үшін (25): x = a*x*(1-x) y = a*y*(1-y) басып шығару x, y

Мұнда детерминистік эволюцияның қарапайым үлгісі берілген. Бірақ бұл детерминизм алдамшы, бұл жай ғана математикалық детерминизм. Практикалық тұрғыдан алғанда, жүйе күтпеген әрекет етеді, өйткені біз ешқашан бастапқы шарттарды математикалық түрде дәл қоя алмаймыз. Шын мәнінде, бәрі белгілі бір дәлдікпен анықталады: әрбір өлшеу құралының белгілі бір дәлдігі бар және бұл хаос қасиеті бар детерминирленген жүйелерде практикалық болжау мүмкін еместігін тудыруы мүмкін. Мысал ретінде әрқашан хаос қасиетін көрсететін ауа-райын болжау модельдерін келтіруге болады. Сондықтан ұзақ мерзімді ауа райы болжамы өте нашар.

Хаотикалық жүйелерді талдау өте қиын. Дегенмен, біз компьютерлік модельдеу көмегімен хаостың көптеген құпияларын оңай шеше аламыз. Бифуркация деп аталатын диаграмманы салайық, оған абсцисса осі бойымен а параметрінің мәндерін және ордината осі бойымен логистикалық кескіндеудің тұрақты тіркелген нүктелерін орналастырамыз. Біз бір уақытта көптеген жүйелерді модельдеу және көптеген үлгі уақыттан кейін мәндерді құру арқылы тұрақты ұпайларды аламыз. Сіз ойлағандай, бұл көп есептеулерді қажет етеді. Келесі мәндерді «мұқият» өңдеуге тырысайық:

numpy импортын np ретінде Nx = 300 Бұл = 500 х = np.linspace(0,1,Nx) х = х + np.нөлдер ((Na, Nx)) h = np.transpose (h) a = np.linspace (1,4, Na) a=a+np.нөлдер((Nx,Na)) диапазондағы i үшін (100): x=a*x*(1-x) pt = [[a_,x_] a_,x_ дюйм үшін zip(a.flatten(),x.flatten())] нүкте(pt, өлшемі=1, сурет өлшемі=(7,5))

Біз (3) суретіне ұқсас нәрсені алуымыз керек. Бұл суретті қалай түсіндіруге болады? Мысалы, a = 3.3 параметрінің мәнімен бізде 2 тұрақты тіркелген нүкте бар (популяция мөлшері әрбір екінші маусымда бірдей). Дегенмен, a = 3.5 параметрі үшін бізде 4 тұрақты нүкте бар (әр төртінші маусымда популяция бірдей санға ие), ал а = 3.56 параметрі үшін бізде 8 тұрақты нүкте бар (әр сегізінші маусымда популяция бірдей санға ие). Бірақ a≈3.57 параметрі үшін бізде шексіз көп бекітілген нүктелер бар (популяция мөлшері ешқашан қайталанбайды және болжанбайтын жолмен өзгереді). Дегенмен, компьютерлік бағдарлама арқылы біз а параметрінің ауқымын өзгерте аламыз және осы диаграмманың шексіз геометриялық құрылымын өз қолымызбен зерттей аламыз.

Бұл айсбергтің бір ұшы ғана. Бұл теңдеу туралы мыңдаған ғылыми еңбектер жазылды, бірақ ол әлі де құпиясын жасырады. Компьютерлік модельдеудің көмегімен сіз тіпті жоғары математикаға жүгінбей-ақ, бейсызық динамика әлемінің пионерін ойнай аласыз. Логистикалық теңдеудің көптеген қызықты қасиеттері мен оларды визуализациялаудың қызықты тәсілдері туралы мәліметтерді қамтитын онлайн нұсқасын оқуға шақырамыз.

¹ Детерминирленген заң - болашақ бастапқы күймен бірегей түрде анықталатын заң. Антоним – ықтималдық заңы. ² Математикада «дискретті» белгілі бір есептелетін жиыннан мәндерді алуды білдіреді. Керісінше «үздіксіз».