Неге нөлге бөлмейміз?
Мазмұны
Оқырмандар мені неліктен бүкіл мақаланы осындай беймәлім мәселеге арнадым деп ойлайтын шығар? Оған себеп, атымен ота жасап жатқан студенттердің (!) таңғаларлық саны. Тек студенттер ғана емес. Кейде ұстаздарды ұстаймын. Мұндай мұғалімдердің шәкірттері математикадан не істей алады? Бұл мәтінді жазудың бірден себебі нөлге бөлу қиындық тудырмайтын мұғаліммен әңгіме болды ...
Нөлмен, иә, ештеңенің қиындықтарын қоспағанда, өйткені біз оны күнделікті өмірде пайдаланудың қажеті жоқ. Біз нөлдік жұмыртқа үшін дүкенге бармаймыз. «Бөлмеде бір адам бар» дегені табиғи, ал «нөл адам» жасанды естіледі. Тіл мамандары нөлдің тіл жүйесінен тыс екенін айтады.
Біз банктік шоттарда да нөлсіз жасай аламыз: термометрдегідей - оң және теріс мәндер үшін қызыл және көк түстерді пайдаланыңыз (температура үшін оң сандар үшін қызыл түсті, ал банк шоттары үшін оны пайдалану табиғи екенін ескеріңіз. керісінше, дебет ескертуді тудыруы керек, сондықтан қызыл түс өте ұсынылады).
Нөлді натурал сан ретінде қосу арқылы дифференциалдау мәселесіне тоқталамыз Кардиналды сандар od үй шаруашылығы. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ….. ішінде
санның күші оның тұрған жерінің санымен бірдей. Әйтпесе, ол 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, … тізбегінде.
Бірыңғай жиындар саны екінші, екі элементі бар жиындар саны үшінші және т.б. Біз, мысалы, жарыстарда спортшылардың орындарын нөлден бастап нөмірлемейтінімізді түсіндіруіміз керек. Содан кейін бірінші орын иегері күміс медаль алады (алтын нөлдік орын иегеріне берілді) және т.б.. Осыған ұқсас процедура футболда да қолданылды - Оқырмандар «бірінші лига» дегенді білдіретінін білмеймін. ең жақсысын қадағалайды». «, ал нөлдік лига «жоғарғы лига» болуға шақырылады.
Кейде біз нөлден бастау керек деген аргументтерді естиміз, өйткені бұл IT мамандарына ыңғайлы. Осы ойларды жалғастыра отырып, километрдің анықтамасын өзгерту керек - ол 1024 м болуы керек, өйткені бұл килобайттағы байттардың саны (компьютер ғалымдарына белгілі әзілге сілтеме жасаймын: «Бірінші курс студентінің айырмашылығы неде? информатика студенті және осы факультеттің бесінші курс студенті? килобайт 1000 килобайт, соңғысы - бұл километр 1024 метр»)!
Қазірдің өзінде байыппен қарау керек тағы бір көзқарас мынада: біз әрқашан нөлден өлшейміз! Сызғышта, тұрмыстық таразыда, тіпті сағатта кез келген таразыға қарау жеткілікті. Біз нөлден өлшейтіндіктен және санауды өлшемсіз бірлікпен өлшеу деп түсінуге болатындықтан, біз нөлден санауымыз керек.
Бұл қарапайым мәселе, бірақ...
Жалпы пайымдауды қалдырып, нөлге бөлуге оралайық. Мәселе қарапайым және егер ол болмағанда қарапайым болар еді ... сонда не? Ойланып көрейік. Ол қанша болуы мүмкін - бір нөлге бөлінген? Көрейік: 1/0 = x. Екі жағын сол жақтың бөлгішіне көбейтіңіз.
1=0 аламыз. Бір нәрсе дұрыс емес! Не болды? Ой тап! Бірліктің және нөлдің бөлшегі бар деген болжам қайшылыққа әкеледі. Ал егер біреуін нөлге бөлу мүмкін болмаса, онда басқа сан да болады. Оқырман, автор (яғни, мен) неге мұндай жалаң сөздерді жазып отыр деп иығыңызды қусырып отырсаңыз, онда... Мен өте қуаныштымын!
0/0 = 0 формуласын қыңыр негізде қорғауға болады, бірақ ол санды өзіне бөлудің нәтижесі бірге тең деген ережеге қайшы келеді. Мүлдем, бірақ 0/0, °/° сияқты таңбалар және есептеулердегі ұқсас белгілер. Олар қандай да бір санды білдірмейді, бірақ белгілі бір түрлердің белгілі бір тізбегі үшін символдық белгілеулер болып табылады.
Электротехника кітабында мен қызықты салыстыруды таптым: нөлге бөлу жоғары вольтты электр тогы сияқты қауіпті. Бұл қалыпты жағдай: Ом заңы кернеудің кедергіге қатынасы токқа тең екенін айтады: V = U / R. Егер қарсылық нөлге тең болса, теориялық шексіз ток өткізгіш арқылы өтіп, барлық мүмкін өткізгіштерді күйдірер еді.
Бірде мен аптаның әр күні үшін нөлге бөлудің қауіптілігі туралы өлең жаздым. Ең драмалық күн бейсенбі болғаны есімде, бірақ бұл саладағы барлық жұмысыма өкінішті.
Бір нәрсені нөлге бөлгенде
Өте ерте дүйсенбі
Апта не болды
Сіз қазірдің өзінде сәтсіздікке ұшырадыңыз.
Сейсенбі күні түстен кейін
Сіз бөлгішке нөл қоясыз
Мен сізге айтамын, сіз қателесесіз
Жаман математик!
Нөлге жеткенде, бұрмалау арқылы,
Сәрсенбіде ажырасқым келеді
Сіз көп қиындыққа тап боласыз
Сіздің басыңызда шөп пен су бар!
Бізбен бірге бір Бартек болды.
Ол ережеге қайшы болды.
Бейсенбіде ол нөлге бөлінеді.
Ол енді арамызда жоқ!
Егер сізді біртүрлі тілек басып алса
Жұма күні нөлге бөліңіз
Мен шынымды айтайын, шынымды айтайын:
Осы демалыс күнінің сәтсіз басталуы.
Нөл болғанда, сенбіде бір жерде
Бөлгіш сіздікі болады (қалың емес)
Шіркеу дуалының астына тізе бүгіңіз.
Бұл сіздің қайта тірілуіңіз.
Сіз сызықша астында нөлді қалайсыз ба,
Жексенбіде демалыс жасаңыз
Бор, қара тақта әкел.
Жазыңыз: ол нөлге бөлінбейді!
Нөл бос және жоқтықпен байланысты. Шынында да, ол математикаға кез келгенге қосылса, оны өзгертпейтін шама ретінде келді: x + 0 = x. Бірақ қазір нөл бірнеше басқа мәндерде пайда болады, ең бастысы ретінде масштабты бастау. Егер терезенің сыртында оң температура да, аяз да болмаса, онда ... бұл нөлге тең, бұл температура мүлдем жоқ дегенді білдірмейді. Нөлдік класс ескерткіші ұзақ уақыт бойы бұзылған және жай жоқ ескерткіш емес. Керісінше, бұл Вавель, Эйфель мұнарасы және Бостандық мүсіні сияқты нәрсе.
Позициялық жүйедегі нөлдің маңыздылығын асыра бағалау мүмкін емес. Сіз білесіз бе, оқырман, Билл Гейтстің банктік шотында қанша нөл бар? Мен білмеймін, бірақ мен жартысын алғым келеді. Наполеон Бонапарт адамдардың нөлге ұқсайтынын байқаса керек: олар позиция арқылы мағынаға ие болады. Анджей Важданың «Жылдар өткен сайын, күндер өтуде» романында құмар суретші Ежи жарылып кетеді: «Филистер нөл, нихил, ештеңе, ештеңе, нихил, нөл». Бірақ нөл жақсы болуы мүмкін: «нормадан нөлдік ауытқу» бәрі жақсы жүріп жатқанын білдіреді және оны жалғастырыңыз!
Математикаға қайта оралайық. Нөлді жазасыз қосуға, азайтуға және көбейтуге болады. «Мен нөл килограмм салмақ қостым», - дейді Маня Аняға. «Бұл қызық, өйткені мен бірдей салмақ тастадым», - деп жауап береді Аня. Ендеше алты рет балмұздақтың алты нөлдік порциясын жейміз, бұл бізге зиян тигізбейді.
Біз нөлге бөле алмаймыз, бірақ нөлге бөле аламыз. Бір табақ нөлдік тұшпара тамақ күтіп отырғандарға оңай таратылады. Әрқайсысы қанша алады?
Нөл оң немесе теріс емес. Бұл және саны оң емеси теріс емес. Ол x≥0 және x≤0 теңсіздіктерін қанағаттандырады. «Оң нәрсе» қайшылығы «жағымсыз нәрсе» емес, «теріс немесе нөлге тең нәрсе». Математиктер тілдің заңдылығына қайшы, әрқашан бір нәрсені «нөлге» емес, «нөлге тең» деп айтатын болады. Бұл тәжірибені негіздеу үшін бізде: x = 0 «x нөлге тең» формуласын оқысақ, х = 1 «х тең бір» деп оқимыз, оны жұтуға болады, бірақ «x = 1534267» туралы не деуге болады. ? Сондай-ақ 0 таңбасына сандық мән тағайындай алмайсыз0нөлді теріс қуатқа дейін көтермейді. Екінші жағынан, сіз өз қалауыңыз бойынша нөлді түбірлеуге болады... және нәтиже әрқашан нөлге тең болады.
Көрсеткіштік функция y = ax, а-ның оң негізі ешқашан нөлге айналмайды. Бұдан нөлдік логарифм жоқ деген қорытынды шығады. Шынында да, a-ның b негізіне логарифмі а-ның логарифмін алу үшін негізін көтеру керек көрсеткіш болып табылады. a = 0 үшін мұндай көрсеткіш жоқ, ал нөл логарифмнің негізі бола алмайды. Дегенмен, Ньютон таңбасының «бөлгішіндегі» нөл басқа нәрсе. Бұл конвенциялар қайшылыққа әкелмейді деп есептейміз.
жалған дәлелдер
Нөлге бөлу жалған дәлелдемелердің ортақ тақырыбы болып табылады және бұл тәжірибелі математиктерде де кездеседі. Сізге ең жақсы көретін екі мысал келтірейін. Біріншісі алгебралық. Барлық сандардың тең екенін «дәлелдеймін». Бірдей емес екі сан бар делік. Сондықтан олардың біреуі екіншісінен үлкен, а > b болсын. c олардың айырмашылығы деп есептейік
c \uXNUMXd a - b. Сонымен, бізде a - b = c, мұндағы a = b + c.
Соңғысының екі бөлігін де a - b көбейтеміз:
a2 – ab = ab + ac – b2 – bc.
Мен ак дегенді сол жаққа аударамын, әрине белгіні өзгерту есімде:
a2 - ab - ac = ab - b2 - bc.
Мен жалпы факторларды алып тастаймын:
A (a-b-c) \uXNUMXd b (a-b-c),
Мен бөлісемін және менде қалаған нәрсе бар:
a = b.
Ал шын мәнінде тіпті бейтаныс, өйткені мен a > b деп есептедім және мен а = b деп алдым.Егер жоғарыдағы мысалда «алдау» оңай тану болса, онда төмендегі геометриялық дәлелде бұл оңай емес. Мен дәлелдеймін ... трапеция жоқ. Әдетте трапеция деп аталатын фигура жоқ.
Бірақ алдымен трапеция сияқты нәрсе бар делік (төмендегі суретте ABCD). Оның екі параллель жағы бар («негіздері»). Параллелограмм алу үшін мына негіздерді суретте көрсетілгендей созайық. Оның диагональдары трапецияның басқа диагоналын ұзындықтары х, у, z деп белгіленген кесінділерге бөледі. Сурет 1. Сәйкес үшбұрыштардың ұқсастығынан біз пропорцияларды аламыз:
мұнда анықтаймыз:
ораз
мұнда анықтаймыз:
Жұлдызшамен белгіленген теңдік жақтарын алып тастаңыз:
Екі жағын x − z арқылы қысқартқанда, біз – a/b = 1 аламыз, яғни a + b = 0. Бірақ a, b сандары трапеция табандарының ұзындықтары болып табылады. Егер олардың қосындысы нөлге тең болса, онда олар да нөлге тең болады. Бұл трапеция сияқты фигура болуы мүмкін емес дегенді білдіреді! Тіктөртбұрыштар, ромбтар және шаршылар да трапеция болғандықтан, құрметті оқырман, ромбтар, тіктөртбұрыштар және шаршылар да жоқ ...
Guess Guess
Ақпарат алмасу төрт негізгі әрекеттің ішіндегі ең қызықтысы және қиыны болып табылады. Мұнда біз алғаш рет есейген кезде жиі кездесетін құбылысқа тап болдық: «жауабын тап, сосын дұрыс тапқаныңды тексер». Мұны Дэниэл К.Деннетт өте орынды айтқан («Қалай қателесу керек?», «Бұл қалай – Ғаламға ғылыми нұсқаулық», CiS, Варшава, 1997):
Бұл «болжау» әдісі біздің ересек өмірімізге кедергі келтірмейді - мүмкін, біз оны ерте үйреніп, болжау қиын емес. Идеологиялық тұрғыдан дәл осындай құбылыс, мысалы, математикалық (толық) индукцияда да кездеседі. Дәл сол жерде біз формуланы «болжаймыз», содан кейін болжамымыздың дұрыстығын тексереміз. Оқушылар үнемі: «Біз үлгіні қайдан білдік? Оны қалай шығаруға болады?» Студенттер маған бұл сұрақты қойғанда, мен олардың сұрағын әзілге айналдырамын: «Мен мұны кәсіпқой болғаным үшін білемін, өйткені маған білу үшін ақша төленеді». Мектептегі оқушыларға бір стильде, тек байыпты түрде жауап беруге болады.
Жаттығу. Назар аударыңыз, біз қосу және жазбаша көбейтуді ең кіші бірліктен, ал бөлуді ең үлкен бірліктен бастаймыз.
Екі идеяның қосындысы
Математика мұғалімдері әрқашан ересектерді бөлу деп атайтын нәрсе екі тұжырымдамалық әртүрлі идеялардың бірігуі екенін атап өтті: Тұрғын үй i бөлу.
Біріншісі (Тұрғын үй) архетипі болатын тапсырмаларда кездеседі:
Бөлу-бөлу Бұл келесідей міндеттер:
? (Біз Юлиан Згозалевичтің 1892 жылы Краков қаласында басылған анықтамалығынан алынған бұл мәселенің түпнұсқа стилін сақтаймыз – злоты – Рен злоты, ХNUMX ғасырдың басына дейін Австро-Венгрия империясында айналымда болған ақша).
Енді екі мәселені қарастырыңыз поляк тіліндегі ең көне математика оқулығы, әкесі Томаш Клос (1538). Бұл дивизия ма, әлде купе ме? Оны XNUMX ғасырдағы мектеп оқушылары шешуі керек:
(Польшадан полякша аудармасы: Бөшкеде бір кварта және төрт құмыра бар. Кәстрөл төрт кварт. Біреу сауда үшін 20 zł-ға 50 бөшке шарап сатып алды. Баж және салық (акциз?) 8 zł болады. Қанша 8 zł табу үшін квартты сату керек пе?)
Спорт, физика, конгруэнт
Кейде спортта бір нәрсені нөлге бөлуге тура келеді (гол коэффициенті). Әділ қазылар онымен қалай айналысады. Дегенмен, абстрактілі алгебрада олар күн тәртібінде. нөлдік емес шамаларквадраты нөлге тең. Оны тіпті қарапайым түрде түсіндіруге болады.
(у, 0) нүктесін (х, у) жазықтықтағы нүктемен байланыстыратын F функциясын қарастырайық. Ф деген не2, яғни F-ның қосарланған орындалуы? Нөлдік функция – әрбір нүктеде кескін бар (0,0).
Ақырында, квадраты 0 болатын нөлдік емес шамалар физиктер үшін күнделікті дерлік нан болып табылады және a + bε түріндегі сандар, мұнда ε ≠ 0, бірақ ε2 = 0, математиктер шақырады қос сандар. Олар математикалық талдауда және дифференциалдық геометрияда кездеседі.
Арифметикада кем дегенде атауында нөлге бөлінетін нәрсе бар. Ол келеді сәйкестік. Z бүтін сандар жиынын белгілейік. Z жиынын p-ке бөлу әрбір санды (бүтін санды) басқаларына, атап айтқанда, олардың айырмасы бөлінетін сандарға теңестіретінімізді білдіреді. Сонымен, бізде 0, 1, 2, 3, 4 сандарына сәйкес келетін сандардың бес түрі болған кезде – 5-ке бөлгенде мүмкін болатын қалдықтар. Формула былай жазылады:
мод айырмасы еселік болғанда.
= 2 үшін бізде тек екі сан бар: 0 және 1. Бүтін сандарды осындай екі класқа бөлу оларды жұп және тақ деп бөлумен тең. Енді оны ауыстырайық. Айырма әрқашан 1-ге бөлінеді (кез келген бүтін сан 1-ге бөлінеді). =0 қабылдауға болады ма? Байқап көрейік: екі санның айырмасы қашан нөлге еселік болады? Осы екі сан тең болғанда ғана. Сондықтан бүтін сандар жиынын нөлге бөлу мағынасы бар, бірақ бұл қызық емес: ештеңе болмайды. Дегенмен, бұл бастауыш мектептен белгілі мағынада сандарды бөлу емес екенін атап өткен жөн.
Мұндай әрекеттерге жай ғана тыйым салынған, сондай-ақ ұзақ және кең математика.
Күріш. 2. Салыстыру арқылы сандарды анықтау
(5-режим және 2-режим)
