Коронавирус және математикалық білім – Ішінара тапсырыс берілген жинақтар

Бізді жұқтырған вирус білім беруді жылдам реформалауда. әсіресе білім берудің жоғары деңгейінде. Бұл тақырып бойынша ұзағырақ эссе жазуға болады, қашықтан оқыту әдістемесі бойынша докторлық диссертациялар легі сөзсіз болады. Белгілі бір тұрғыдан алғанда, бұл өз бетінше оқудың тамырына және ұмытылған әдеттеріне қайта оралу. Бұл, мысалы, Кременец орта мектебінде (1805-31 жылдары болған қазіргі Украинадағы Кременецте, 1914 жылға дейін өскен және 1922-1939 жылдары өзінің гүлдену кезеңін бастан кешірген). Онда оқушылар өз бетімен оқыды – үйренгеннен кейін ғана мұғалімдер түзетулермен, соңғы нақтылаулармен, қиын жерлерде көмек көрсетумен және т.б. е) Студент болған кезде олар да білімді өзіміз алуымыз керек, тек тапсырыс беріп университетке сабақ жібереміз деді. Бірақ ол кезде бұл жай ғана теория еді...

2020 жылдың көктемінде сабақтарды (соның ішінде лекциялар, жаттығулар және т.б.) қашықтан (Google Meet, Microsoft Teams және т. мұғалім тарапынан және екінші жағынан жай ғана «білім алу» ниеті; сонымен қатар біршама жайлылықпен: мен үйде, креслода отырамын және дәстүрлі лекцияларда студенттер де жиі басқа нәрсемен айналысатын. Мұндай оқытудың әсері орта ғасырлардан бергі дәстүрлі, сыныптық-сабақ жүйесімен салыстырғанда жақсырақ болуы мүмкін. Вирус тозаққа түскенде одан не қалады? Менің ойымша... өте көп. Бірақ көреміз.

Бүгін мен жартылай тапсырыс берілген жиынтықтар туралы айтатын боламын. Бұл оп-оңай. Бос емес Х жиынындағы екілік қатынас бар болған кезде ішінара реттік қатынас деп аталады

(Тадеуш Котарбински, 1886-1981, философ,

1957–1962 жж. Польша Ғылым академиясының президенті.

Рефлексивті, яғни әрбір ∈ үшін «,
Өтіп бара жатқан, яғни. егер «, және «, онда»,
Жартылай асимметриялық, яғни. («∧»)→ =

Жол дегеніміз келесі қасиеті бар жиын: кез келген екі элемент үшін бұл жиын не "немесе у" болады. Античейн дегеніміз...

Тоқта, тоқта! Мұның кез келгенін түсінуге болады ма? Әрине солай. Бірақ Оқырмандардың біреуі (басқасын біле тұра) мұнда не бар екенін түсінді ме?

Олай ойламаймын! Ал бұл математиканы оқытудың каноны. Мектепте де. Алдымен, лайықты, қатаң анықтама, содан кейін, зерігуден ұйықтамағандар міндетті түрде бір нәрсені түсінеді. Бұл әдісті математиканың «ұлы» мұғалімдері таңған. Ол мұқият және қатал болуы керек. Түбінде осылай болуы керек екені рас. Математика нақты ғылым болуы керек (сондай-ақ қараңыз: ).

Мойындауым керек, Варшава университетінде зейнеткерлікке шыққаннан кейін жұмыс істейтін университетте мен де көп жыл ұстаздық еттім. Тек оның ішінде атышулы шелек суық су (осылай қалсын: шелек керек болды!). Кенеттен жоғары абстракция жеңіл әрі жағымды болды. Назар аударыңыз: оңай оңай дегенді білдірмейді. Жеңіл боксшы да қиналады.

Мен естеліктерге күлемін. Маған математика негіздерін сол кездегі кафедра деканы, Америка Құрама Штаттарында ұзақ тұрудан жаңа ғана келген бірінші дәрежелі математик үйретті, бұл ол кезде өз алдына бір ерекше нәрсе болатын. Менің ойымша, ол поляк тілін аздап ұмытып кеткенде, аздап сыпайы болды. Ол ескі поляк «не», «сондықтан», «азалея» деген сөздерді теріс пайдаланып, «жартылай асимметриялық қатынас» терминін енгізді. Мен оны пайдаланғанды жақсы көремін, бұл өте дәл. Маған ұнайды. Бірақ мен мұны студенттерден талап етпеймін. Бұл әдетте «төмен антисимметрия» деп аталады. Он әдемі.

Баяғыда, өйткені жетпісінші жылдары (өткен ғасырдың) математиканы оқытуда үлкен, қуанышты реформа болды. Бұл Эдуард Гиерек билігінің қысқа кезеңінің басталуымен - еліміздің әлемге белгілі бір ашылуымен тұспа-тұс келді. Ұлы ұстаздар: «Балаларға жоғары математиканы да үйретуге болады», - деді. Балаларға арналған университеттің «Математика негіздері» лекциясының қысқаша мазмұны құрастырылды. Бұл Польшада ғана емес, бүкіл Еуропада тенденция болды. Теңдеуді шешу жеткіліксіз болды, әрбір бөлшекті түсіндіру керек болды. Негізсіз болмас үшін әрбір оқырман теңдеулер жүйесін шеше алады:

бірақ студенттер әрбір қадамды негіздеу, сәйкес мәлімдемелерге сілтеме жасау және т.б. болды. Бұл мазмұннан форманың классикалық асып кетуі болды. Қазір маған сын айту оңай. Мен де бір кездері осы тәсілді жақтаушы едім. Бұл қызықты... математикаға құмар жастар үшін. Бұл, әрине, болды (және назар аудару үшін мен).

Бірақ шегініс жеткілікті, іске кірісейік: «теориялық тұрғыдан» Политехникумның екінші курс студенттеріне арналған және ол болмаса, кокос жаңғағы сияқты құрғақ болар еді. Мен аздап асыра айтып отырмын...

Қайырлы таң. Бүгінгі тақырып ішінара тазалау. Жоқ, бұл ұқыпсыз тазалаудың белгісі емес. Ең жақсы салыстыру қайсысы жақсы екенін қарастыру болар еді: қызанақ сорпасы немесе кремді торт. Жауап анық: неге байланысты. Десертке – печенье, ал құнарлы тағамға: сорпа.

Математикада біз сандармен айналысамыз. Олар реттелген: олар үлкен және кіші, бірақ екі түрлі санның бірі әрқашан аз, яғни екіншісі үлкен. Олар әліпбидегі әріптер сияқты рет-ретімен орналасады. Сынып журналында реттілік келесідей болуы мүмкін: Адамчик, Багинская, Хойницкий, Дерковский, Елгет, Филипов, Гжечник, Холницкий (олар менің сыныбымдағы достар және сыныптастарым!). Сондай-ақ Матусяктың «Матушелянский» Матушевскийдің «Матисяк» екеніне күмәніміз жоқ. «Қос теңсіздік» белгісі «бұрын» деген мағынаны білдіреді.

Менің туристік клубымда біз тізімдерді әліпби бойынша жасауға тырысамыз, бірақ аты бойынша, мысалы, Алина Вронска «Варвара Кацарска», Цезарь Бушиц және т.б. Ресми жазбаларда тәртіп керісінше болады. Математиктер алфавиттік тәртіпті лексикографиялық деп атайды (лексика азды-көпті сөздікке ұқсайды). Екінші жағынан, екі бөліктен тұратын атауда (Михал Шурек, Алина Вронска, Станислав Смажинский) алдымен екінші бөлігін қарастыратын мұндай тәртіп математиктер үшін антилексикографиялық тәртіп болып табылады. Ұзын атаулар, бірақ өте қарапайым мазмұн.

1. Сызықтық тәртіп: 1899 жылы салынған Подхаледен Хабовка-Закопане теміржолындағы станциялар мен аялдамалар (аббревиатуралардың декодтауын оқырманға қалдырамын).

Бұндай бұйрықтардың барлығы желілік тапсырыстар деп аталады. Біз кезекпен тапсырыс береміз: бірінші, екінші, үшінші. Бірінші нүктеден соңғы нүктеге дейін бәрі тәртіппен. Бұл әрқашан мағынасы жоқ. Өйткені, кітапханадағы кітаптарды олай емес, бөлімдерге бөлеміз. Тек бөлімнің ішінде біз сызықтық (әдетте алфавит бойынша) реттейміз.

2. Сызықтық тәртіп: автомобиль қозғалтқышын іске қосу кезінде біз әрекеттерді дәйекті тәртіппен орындаймыз.

Үлкен жобалармен, әсіресе командалық жұмыста, бізде енді сызықтық тәртіп болмайды. Қарап көрейік інжір. 3. Біз шағын қонақүй салғымыз келеді. Бізде ақша бар (0 ұяшық). Біз рұқсаттарды ресімдейміз, материалдарды жинаймыз, құрылысты бастаймыз, сонымен бірге жарнамалық науқан жүргіземіз, жұмысшылар іздейміз және т.б. Біз «10-ға» жеткенде, бірінші қонақтар тіркеле алады (Домбровски мырзаның және олардың Краков маңындағы шағын қонақ үйінің әңгімелерінен мысал). Бізде бар сызықтық емес тәртіп – кейбір нәрселер қатар жүруі мүмкін.

Экономикада сіз сыни жол түсінігімен танысасыз. Бұл дәйекті түрде орындалуы керек әрекеттер жиынтығы (және бұл математикада тізбек деп аталады, бір сәтте көбірек) және көп уақытты алады. Құрылыс уақытын қысқарту сыни жолды қайта құру болып табылады. Бірақ бұл туралы басқа дәрістерде (мен «университет дәрісін» оқып жатқанымды еске саламын). Біз математикаға назар аударамыз.

3-сурет сияқты диаграммалар Хассе диаграммалары деп аталады (Гельмут Хассе, неміс математигі, 1898–1979). Әрбір күрделі әрекет осылайша жоспарлануы керек. Біз әрекеттер ретін көреміз: 1-5-8-10, 2-6-8, 3-6, 4-7-9-10. Математиктер оларды жіп деп атайды. Бүкіл идея төрт тізбектен тұрады. Керісінше, белсенділік топтары 1-2-3-4, 5-6-7 және 8-9 античендер болып табылады. Міне, олар осылай аталады. Өйткені, белгілі бір топта әрекеттердің ешқайсысы алдыңғы әрекетке байланысты емес.

4. Бұл да Хассе диаграммасы.

барайық Сурет 4. Не әсерлі? Бірақ бұл қандай да бір қаладағы метро картасы болуы мүмкін! Жер асты теміржолдары әрқашан желілерде топтастырылған - олар бірінен екіншісіне өтпейді. Жолдар бөлек жолдар. Қалада күріш. 4 болып табылады пеш сызық (оны есте сақтаңыз пеш ол «болдем» деп жазылған – поляк тілінде жартылай қалың деп аталады).

Бұл диаграммада (4-сурет) қысқа сары ABF, алты станциялық ACFPS, жасыл ADGL, көк DGMRT және ең ұзын қызыл түсті. Математик былай дейді: бұл Хассе диаграммасы бар пеш тізбектер. Ол қызыл сызықта жеті станция: AEINRUW. Античейндер туралы не деуге болады? Олар бар жеті. Сөздің астын екі рет сызғанымды оқырман байқап қалды жеті.

Античейн бұл станциялардың жиынтығы сонша, олардың бірінен екіншісіне трансферсіз жету мүмкін емес. Біз аздап «түсінген кезде» келесі антитізбектерді көреміз: A, BCLTV, DE, FGHJ, KMN, PU, SR. Мысалы, BCLTV станцияларының ешқайсысынан басқа BCTLV-ге аударымсыз, дәлірек айтқанда: төменде көрсетілген станцияға оралмай-ақ жүру мүмкін емес екенін тексеріңіз. Қанша қарсы тізбектер бар? Жетінші. Ең үлкені қандай өлшем? Пісіру (қайтадан қою шрифтпен).

Оқушылар, бұл сандардың сәйкес келуі кездейсоқ емес екенін елестете аласыз. Бұл. Мұны 1950 жылы Роберт Палмер Дилворт (1914–1993, американдық математик) ашқан және дәлелдеген (яғни әрқашан солай). Бүкіл жиынтықты жабу үшін қажетті жолдар саны ең үлкен антитізбектің өлшеміне тең және керісінше: қарсы тізбектердің саны ең ұзын антитізбектің ұзындығына тең. Бұл әрқашан жартылай реттелген жиынтықта болады, яғни. визуализациялауға болатын бірі. Хассего диаграммасы. Бұл өте қатаң және дұрыс анықтама емес. Мұны математиктер «жұмыстық анықтама» деп атайды. Бұл «жұмыс анықтамасынан» біршама ерекшеленеді. Бұл ішінара реттелген жиынтықтарды қалай түсінуге болатыны туралы кеңес. Бұл кез келген жаттығудың маңызды бөлігі: оның қалай жұмыс істейтінін қараңыз.

Ағылшынша аббревиатурасы - бұл сөз славян тілдерінде әдемі естіледі, сәл ошаған тәрізді. Ошағанның да тармақталғанына назар аударыңыз.

Өте жақсы, бірақ бұл кімге керек? Бұл сізге, құрметті студенттер, емтихан тапсыру үшін қажет және бұл оны оқуға жеткілікті себеп болуы мүмкін. Тыңдап жатырмын, қандай сұрақтар? Тыңдап тұрмын, терезе астынан мырза. О, сұрақ: бұл сіздің өміріңізде Иемізге пайдалы бола ма? Мүмкін емес, бірақ сізден ақылды адам үшін, әрине ... Мүмкін күрделі экономикалық жобадағы сыни жолды талдау үшін?

Мен бұл мәтінді маусым айының ортасында жазып жатырмын, Варшава университетінде ректор сайлауы өтіп жатыр. Интернет қолданушыларының бірнеше пікірлерін оқыдым. «Білімді адамдарға» деген өшпенділіктің (немесе «жек көру») таңқаларлық мөлшері бар. Біреу университет білімі барларға қарағанда аз біледі деп ашық жазды. Әрине, мен талқылауға араласпаймын. Поляк Халық Республикасында барлығын балға мен қашаумен жасауға болады деген қалыптасқан пікірдің қайта оралып жатқанына қынжыламын. Мен математикаға қайта ораламын.

Дилворт теоремасы бірнеше қызықты қолданулары бар. Олардың бірі неке теоремасы ретінде белгілі.інжір. 6).

Әйелдер тобы (негізінен қыздар) және ерлердің сәл үлкенірек тобы бар. Кез келген қыз былай деп ойлайды: «Мен бұған, басқасына тұрмысқа шыға алар едім, бірақ өмірімде үшіншісіне ешқашан үйленбеймін». Және т.б., әркімнің өз қалауы бар. Біз диаграмманы саламыз, олардың әрқайсысына құрбандық үстеліне үміткер ретінде қабылдамайтын жігіттің көрсеткісін алып жатырмыз. С: Әрқайсысы өзі қабылдайтын күйеуді таба алатындай жұптарды сәйкестендіре ала ма?

Филипп Холл теоремасы, мұны істеуге болатынын айтады - белгілі бір жағдайларда мен бұл жерде талқыламаймын (содан кейін келесі дәрісте студенттер, өтінемін). Алайда, бұл жерде ерлердің қанағаттануы мүлдем айтылмағанын ескеріңіз. Өздеріңіз білесіздер, бізді әйелдер таңдайды, керісінше емес, біз ойлағандай (автор емес, автор екенімді ескертемін).

Кейбір маңызды математика. Холл теоремасы Дилворттан қалай шығады? Бұл өте оңай. 6-суретке қайта қарайық. Ондағы тізбектер өте қысқа: олардың ұзындығы 2 (бағытта жүгіреді). Кішкентай ерлердің жиынтығы анти-тізбек болып табылады (дәл көрсеткілер тек қарай бағытталған). Осылайша, сіз бүкіл топтаманы қанша еркек болса, сонша анти-тізбекпен жабуға болады. Сондықтан әрбір әйелде жебе болады. Бұл оның өзі қабылдайтын жігіт сияқты көрінуі мүмкін дегенді білдіреді!!!

Күте тұрыңыз, біреу сұрайды, бәрі осы ма? Мұның бәрі қолданба ма? Гормондар қандай да бір жолмен жүреді және неге математика? Біріншіден, бұл бүкіл қолданба емес, үлкен сериялардың бірі ғана. Солардың бірін қарастырайық. (6-сурет) жақсы жыныстың өкілдерін емес, керісінше прозалық сатып алушыларды білдірсін және бұл брендтер, мысалы, автомобильдер, кір жуғыш машиналар, арықтау өнімдері, туристік агенттіктердің ұсыныстары және т.б. Әрбір сатып алушының өзі қабылдайтын брендтері бар және бас тартады. Барлығына бір нәрсені сату үшін бірдеңе жасауға бола ма және қалай? Бұл жерде әзілдер ғана емес, сонымен қатар осы тақырыптағы мақала авторының білімі де аяқталады. Менің білетінім, талдау өте күрделі математикаға негізделген.

Мектепте математиканы оқыту – алгоритмдерді оқыту. Бұл оқудың маңызды бөлігі. Бірақ бірте-бірте біз математиканы емес, математикалық әдісті оқытуға көшеміз. Бүгінгі дәріс осы туралы болды: біз абстрактілі психикалық конструкциялар туралы айтып отырмыз, біз күнделікті өмір туралы ойлаймыз. Біз сатушы-сатып алушы модельдерінде қолданатын кері, өтпелі және басқа қатынастары бар жиынтықтағы тізбектер мен античендер туралы айтып отырмыз. Компьютер біз үшін барлық есептеулерді жасайды. Ол әлі математикалық модельдер жасамайды. Біз әлі де ойымызбен жеңеміз. Қалай болғанда да, мүмкіндігінше ұзағырақ деп үміттенемін!